三道c++編程題，分別用到復化梯形公式和復化辛普生公式、龍貝格算法、R-K算法對方程

第一題：

#include
#include
//復化梯形公式
doubleReiterationOfTrapezoidal(doublea,doubleb,doublen,doublef(doublex))
{
	doubleh,fa,fb,xk,t;
	h=(b-a)/n;//步長
	doubles=0.0;
	for(intk=1;k	{
		xk=a+k*h;
		s=s+f(xk);
	}
	returnh*(f(a)+f(b))/2+h*s;
}
//復化Simpson公式
doubleReiterationOfSimpson(doublea,doubleb,doublen,doublef(doublex))
{
	doubleh,fa,fb,xk,xj;
	h=(b-a)/n;//步長
	doubles1=0.0;
	doubles2=0.0;
	for(intk=1;k	{
		xk=a+k*h;
		s1=s1+f(xk);
	}
	for(intj=0;j	{
		xj=a+(j+0.5)*h;
		s2=s2+f(xj);
	}
	returnh/6*(f(a)+f(b)+2*s1+4*s2);
}
doublefunc(doublex)
{
	/*
	*1.0->10
	*1.1->11
	*...
	*2.0->20
	*/
	switch((int)round(x*10))
	{
	case10:return1;
	case11:return.90909;
	case12:return.83333;
	case13:return.76923;
	case14:return.71429;
	case15:return.66667;
	case16:return.625;
	case17:return.58824;
	case18:return.55556;
	case19:return.52632;
	case20:return.5;
	}
	return0;
}
intmain()
{
//都是分10步積完，從1到2
doubletra=ReiterationOfTrapezoidal(1,2,10,func);
doublesim=ReiterationOfSimpson(1,2,10,func);
printf("Trapezoidal:%f\n",tra);
printf("Simpson:%f\n",sim);
printf("Error:%f\n",(tra-sim));
return0;
}

第二題：

#include
#include
//龍貝格
doubleRomberg(doublea,doubleb,doubleeps,doublef(double))
{
	intk=1;
	doubleS,x,T1,T2,S1,S2,C1,C2,R1,R2,h=b-a;
	T1=h*(f(a)+f(b))/2;
	while(1)
	{
		S=0;x=a+h/2;
		do
		{
			S+=f(x);x+=h;
		}while(x		T2=(T1+h*S)/2.0;
		if(fabs(T2-T1)		S2=T2+(T2-T1)/3.0;
		if(k==1)
		{
			T1=T2;S1=S2;h/=2;k+=1;continue;
		}
		C2=S2+(S2-S1)/15.0;
		if(k==2)
		{
			C1=C2;T1=T2;S1=S2;h/=2.0;k+=1;continue;
		}
		R2=C2+(C2-C1)/63;
		if(k==3)
		{
			R1=R2;C1=C2;T1=T2;S1=S2;h/=2;k+=1;continue;
		}
		if(fabs(S1-S2)			return(S2);
		R1=R2;C1=C2;T1=T2;S1=S2;
		h/=2;
		k+=1;
		return(R1);
	}
}
doublefunc(doublex)
{
	doublec=cos(x);
	returnsqrt(x+c*c);
}
intmain()
{
	constdoublepi=3.14159265358979323;
	//從1到pi，精度是1e-5
	printf("%f\n",Romberg(0,pi,1e-5,func));
	return0;
}

MATLAB問題

不知道你的學歷水平是什么樣的，我盡量簡單說

普通積分：

一般來說是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，然后把上下限帶入求值（定積分）

得到的解是精確解

參見大學課程：《高等數(shù)學》

在matlab中可用函數(shù)：int（），求解

數(shù)值積分：

由于在實際工程中絕大多數(shù)的積分都無法找到原函數(shù)

所以，想要得到精確解很困難

為了能夠算出結(jié)果一些大牛（牛頓，高斯等等）搞出了數(shù)值解

即：數(shù)值積分（與精確解的誤差滿足需要）

具體的方法有很多比如：

梯形公式；辛普森公式；遞歸公式；龍貝格積分；自適應積分；高斯-勒讓德積分等等

參見研究生課程：《數(shù)值分析》

在matlab中自帶了一些求數(shù)值積分的函數(shù)：

trapz（）：基于復化梯形公式

integral（）：求解一元數(shù)值積分

integral2（）：求解一般區(qū)域二重積分數(shù)值解

integral3（）：求解一般區(qū)域三重積分數(shù)值解

我個人最常使用——高斯求積法求數(shù)值積分

一般來說取10-20個高斯點即可得到足夠精度的數(shù)值解

最后：請叫我雷鋒！

一道定積分？

題主給出的定積分問題，其被積函數(shù)比較復雜，所以用基本積分公式求解很難得到精確解。但我們可以通過數(shù)值積分的方法（如梯形公式，拋物線公式，龍貝格公式等等），得到其數(shù)值解。

對于題主的被積函數(shù)為x^x的定積分，使用復合拋物線公式，并借助于Excel來求解。

1、將積分限【1，2】分成10等份，即

k=0，1，2，3，。。。，10

2、計算積分計算點，即

x(k)=1，1.1，1.2，。。。，2

3、將被積函數(shù)寫出 f(x)=x^x，并計算其y(k)值

4、根據(jù)復合拋物線公式計算，得到其積分值

5、計算過程如下

數(shù)值計算的構(gòu)造數(shù)值積分

構(gòu)造數(shù)值積分公式最通常的方法是用積分區(qū)間上的n 次插值多項式代替被積函數(shù)，由此導出的求積公式稱為插值型求積公式。特別在節(jié)點分布等距的情形稱為牛頓-柯茨公式，例如梯形公式與拋物線公式就是最基本的近似公式。但它們的精度較差。龍貝格算法是在區(qū)間逐次分半過程中，對梯形公式的近似值進行加權(quán)平均獲得準確程度較高的積分近似值的一種方法，它具有公式簡練、計算結(jié)果準確、使用方便、穩(wěn)定性好等優(yōu)點，因此在等距情形宜采用龍貝格求積公式。當用不等距節(jié)點進行計算時，常用高斯型求積公式計算，它在節(jié)點數(shù)目相同情況下，準確程度較高，穩(wěn)定性好，而且還可以計算無窮積分。數(shù)值積分還是微分方程數(shù)值解法的重要依據(jù)。許多重要公式都可以用數(shù)值積分方程導出。

數(shù)值積分的基本思想

數(shù)學上，對于積分

地球物理數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)

只要找到被積函數(shù)f（x）的原函數(shù)F（x），便可得到

地球物理數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)

但在實際使用中，這種方法往往有困難，因為很多的被積函數(shù)找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)，例如 等。在地球物理的實際問題中，被積函數(shù)f（x）往往不清楚或者很復雜，只是通過觀測、測量等獲取了一些離散的值yi＝f（x_i），即已知的f（x）是一個列表函數(shù)，無法求取其原函數(shù)。因此，這類問題就必須依靠數(shù)值積分解決。

對于列表函數(shù)f（x）的積分I^*＝∫^b_af（x）dx，當已知f（x）在區(qū)間［a，b］上n＋1個節(jié)點a＝x₀12<…n＝b的觀測值f₀，f₁，f₂，…，f_n時，自然地想到用它們的插值多項式φ（x）的積分I＝∫^b_aφ（x）dx來近似代替I^*。其幾何意義就是用［a，b］上插值曲線φ（x）與x軸所夾的面積代替f（x）曲線與x軸所夾的面積。

利用不同的插值多項式的積分可導出不同的求積系數(shù)和求積公式，通常利用分段低階的插值多項式求積應用最廣，表7－1給出了不同數(shù)值積分方法的優(yōu)缺點。復化辛卜生公式和復化梯形公式既簡便易行、容易理解，又具有較高的精度，因此是地球物理計算中的主要的求積方法。高斯公式選點少精度高，是正演計算的求積方法。至于龍貝格算法，只要能加密節(jié)點，就可以達到最快的收斂速度，且每次提高二階逼近的精度，是數(shù)值積分中很巧妙、很優(yōu)秀的方法，但是由于地球物理測量的成本和周期限制觀測點密度是有限的，因而無法發(fā)揮這種算法的優(yōu)勢。樣條求積精度高，是地球物理計算中理想的求積方法?；谶@些原因本章重點介紹復化梯形求積、復化辛卜生求積，至于樣條求積，在第六章樣條插值函數(shù)的基礎(chǔ)上很容易實現(xiàn)。

表7－1 不同求積公式對比表