求正交變換 x=Py，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。

^二次型f (x1,x2,x3)=-2x1x2+2x1x3+2x2x3 的矩陣是 A=

[ 0 -1 1]

[-1 0 1]

[ 1 1 0]

解得特征值 λ=1，1, -2.

對(duì)應(yīng)特征向量分別為 (1，-1, 0)^T, (1，0, 1)^T, (1，1, -1)^T.

前兩個(gè)正交化，得 (1，-1, 0)^T, (1/2，1/2, 1)^T,

再單位化，得 (1/√2，-1/√2, 0)^T, (1/√6，1/√6, 2/√6)^T,

第3個(gè)單位化，得(1/√3，1/√3, -1/√3)^T

則正交矩陣 P=

[ 1/ √2 1/ √6 1/√3]

[-1/ √2 1/ √6 1/√3]

[ 0 2/ √6 -1/√3]

使得 P^T*AP=diag(1, 1, -2)，

即 f(y1,y2,y3)=(y1)^2+(y2)^2-2(y3)^2.

擴(kuò)展資料：

在有限維空間中，正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示為正交矩陣，其所有行和所有列也都各自構(gòu)成V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。

因?yàn)檎痪仃嚨男辛惺街豢赡転?1或?1，故正交變換的行列式為+1或?1。行列式為+1和?1的正交變換分別稱為第一類的（對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)變換）和第二類的（對(duì)應(yīng)瑕旋轉(zhuǎn)變換）。可見，歐幾里得空間中的正交變換只包含旋轉(zhuǎn)、反射及它們的組合（即瑕旋轉(zhuǎn)）。

參考資料來(lái)源：百度百科-正交變換

求正交變換X=PY，化二次型f (x1,x2,x3)=-2x1x2+2x1x3+2x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形. 我想問這個(gè)二次型的矩陣是怎么

f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣為 a=[(0,1,1)t,(1,0,1) t,(1,1,0) t];下面將其對(duì)角化： 先求a的特征值，由|ke-a|=|(k,-1,-1) t,(-1,k,-1) t,(-1,-1,k) t |=（k-2）*（k+1）^2=0 解得：k=2或k=-1（二重）。 下求方程（ke-a）z=0的解向量 對(duì)特征值k=2，（2e-a）z=0解得特征向量z=(1，1，1)t， 單位化α1=(1/√3, 1/√3, 1/√3) t. 對(duì)特征值k=-1，（-e-a）z=0解得特征向量z=（1，-1，0）t或（1，0，-1）t， sch

求正交變換x=py，將二次型f=-2x1x2+2x1x3+2x2x3，化為標(biāo)準(zhǔn)型

如下：

擴(kuò)展資料

設(shè)A是n維歐氏空間V的一個(gè)正交變換σ在一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣若丨A丨=1，則稱σ為第一類正交變換，若丨A丨=-1，則稱σ為第二類正交變換。n級(jí)實(shí)矩陣A稱為正交矩陣，如果A*A=E。(A*表示A的共軛轉(zhuǎn)置，E是單位矩陣)。

設(shè)σ是n維歐氏空間V的一個(gè)線性變換，于是下面命題等價(jià)：

1、σ是正交變換；σ保持向量長(zhǎng)度不變，即對(duì)于任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨。

2、如果ε_(tái)1,ε_(tái)2,...,ε_(tái)n是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么σ(ε_(tái)1),σ(ε_(tái)2),...,σ(ε_(tái)n)也是標(biāo)準(zhǔn)正交基。

3、σ在任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣。

線性代數(shù)題急 求一個(gè)正交變換X=Py,將二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+4x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)型.

二次型 f(x1,x2,x3) = x1x2+4x2x3 的矩陣 A = [0 1/2 0] [1/2 0 2] [0 2 0] |λE-A| = λ^3-17λ/4, 解得特征值 λ=0，±√17/2. 對(duì)于 λ=0， λE-A = [0 -1/2 0] [-1/2 0 -2] [0 -2 0] 行初等變換為 [1 0 4] [0 1 0] [0 0 0] 得特征向量 (4, 0, -1)^T, 單位化為 (4/√17, 0, -1/√17)^T； 對(duì)于 λ=√17/2， λE-A = [√17/2 -1/2 0] [-1/2 √17/2 -2] [0 -2 √17/2] 行初等變換為 [1

求一個(gè)正交變換X=PY ，把下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形

二次型f的矩陣A=(4 0 0,0 3 1,0 1 3); 則矩陣A的特征多項(xiàng)式為|A-kE|=|4-k 0 0,0 3-k 1,0 1 3-k|=-(4-k)^2(k-2) ； 即A的特征值 ：k1=k2=4，k3=2； 對(duì)于k1=k2=4，解齊次線性方程組（A-4E）x=0，得對(duì)應(yīng)的特征向量為a1=（0,1,1）,a2=(1,0,0)； 對(duì)于k3=2，解齊次線性方程組（A-2E）x=0，得對(duì)應(yīng)的特征向量為a3=(0,1,-1); 由于a1,a2,a3為正交向量組，單位化為B1=(0,1/√2，1/√2）B2=(1,0,0) B3=(0,1/√2,-1/√2) 令矩陣P=（B1，B2，B3）