常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解是什么？

常系數(shù)非齊次線性微分方程特解如下：

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的表達(dá)式為y''+py'+qy=f(x)，其特解y*設(shè)法分為：

1、如果f(x)=P（x），Pn（x）為n階多項(xiàng)式。

2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）為n階多項(xiàng)式。

簡(jiǎn)介

求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標(biāo)，一旦求出通解的表達(dá)式，就容易從中得到問(wèn)題所需要的特解。也可以由通解的表達(dá)式，了解對(duì)某些參數(shù)的依賴(lài)情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對(duì)應(yīng)的解具有所需要的性能，還有助于進(jìn)行關(guān)于解的其他研究。

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解是什么？

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解如下：

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的表達(dá)式為y''+py'+qy=f(x)，其特解y*設(shè)法分為：

1、如果f(x)=P（x），Pn（x）為n階多項(xiàng)式。

2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）為n階多項(xiàng)式。

特解y*設(shè)法

1、如果f(x)=P（x），Pn（x）為n階多項(xiàng)式。

若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=0，λ＝0；因?yàn)镼m(x)與Pn（x）為同次的多項(xiàng)式，所以Qm(x)設(shè)法要根據(jù)Pn（x）的情況而定。

比如如果Pn（x）＝a（a為常數(shù)），則設(shè)Qm(x)=A（A為另一個(gè)未知常數(shù)）；如果Pn（x）＝x，則設(shè)Qm(x)=ax+b；如果Pn（x）＝x^2，則設(shè)Qm(x)=ax^2+bx+c。

若0是特征方程的單根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=1，λ＝0，即y*=x*Qm(x)。

若0是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，λ＝0，即y*=x^2*Qm(x)。

2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）為n階多項(xiàng)式。

若α不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中，k=0，即y*=Qm(x)*e^αx，Qm(x)設(shè)法要根據(jù)Pn（x）的情況而定。

若α是特征方程的單根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中，k=1，即y*=x*Qm(x)*e^αx。

若α是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，即y*=x^2*Qm(x)*e^αx。

3、如果f(x)=e^αx，Pl（x）為l階多項(xiàng)式，Pn（x）為n階多項(xiàng)式。

若α±iβ不是特征值，在令特解y*=x^k*e^αx中，k=0，m=max{l,n}，Rm1(x)與Rm2(x)設(shè)法要根據(jù)Pl（x）或Pn（x）的情況而定（同Qm(x)設(shè)法要根據(jù)Pn（x）的情況而定的原理一樣）。

即y*=e^αx

若α±iβ不是特征值，在令特解y*=x^k*e^αx中，k=1，即y*=x*e^αx。

怎么理解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

怎么理解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程？ ay'' + by' + cy = f(x)..................(1) 二 階 -- 未知函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)最高階數(shù)為y''：二階； 常系數(shù) -- 未知函數(shù)y及其各階導(dǎo)數(shù)y'、y''的系數(shù)a、b、c均為常數(shù)； 線 性 -- 方程中只含有 未知函數(shù)y及其各階導(dǎo)數(shù)y'、y''的一次項(xiàng)； 非齊次 -- 方程右端 f(x)不為零； 這樣的方程即為：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

常系數(shù)非齊次線性微分方程

如圖所示：

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程是什么？

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的表達(dá)式為y''+py'+qy=f(x)，其特解y*設(shè)法分為：

1、如果f(x)=P（x），Pn（x）為n階多項(xiàng)式。

2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）為n階多項(xiàng)式。

如果f(x)=P（x），Pn（x）為n階多項(xiàng)式。

若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=0，λ=0；因?yàn)镼m(x)與Pn（x）為同次的多項(xiàng)式，所以Qm(x)設(shè)法要根據(jù)Pn（x）的情況而定。

比如如果Pn（x）=a（a為常數(shù)），則設(shè)Qm(x)=A（A為另一個(gè)未知常數(shù)）；如果Pn（x）=x，則設(shè)Qm(x)=ax+b；如果Pn（x）=x^2，則設(shè)Qm(x)=ax^2+bx+c。

若0是特征方程的單根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=1，λ=0，即y*=x*Qm(x)。

若0是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，λ=0，即y*=x^2*Qm(x)。