請教一道數(shù)學(xué)題，不用四點(diǎn)共圓如何證明？

如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡稱為“四點(diǎn)共圓”。四點(diǎn)共圓有三個(gè)性質(zhì)：（1）共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等；（2）圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。

圓內(nèi)接四邊形的對角和為180°,并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角。

【如圖：四點(diǎn)共圓的圖片】

圖A：四點(diǎn)共圓的圖片

四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長AB和DC交至E，過點(diǎn)E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則有：

（1）∠A+∠C=π，∠B+∠D=π（即圖中∠DAB+∠DCB=π, ∠ABC+∠ADC=π）

（2）∠DBC=∠DAC（同弧所對的圓周角相等）。

（3）∠ADE=∠CBE（外角等于內(nèi)對角，可通過（1）、（2）得到）

（4）△ABP∽△DCP（兩三角形三個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等，可由（2）得到）

（5）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）

（6）EB*EA=EC*ED（割線定理）

（7）EF2= EB*EA=EC*ED（切割線定理）

（8）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理）

判定定理

方法1： 把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓。

（可以說成：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那么這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓）

方法2 ：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓。

（可以說成：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對角，那么這四點(diǎn)共圓）

托勒密定理

托勒密定理：若ABCD四點(diǎn)共圓（ABCD按順序都在同一個(gè)圓上），那么AB*DC+BC*AD=AC*BD。

例題：證明對于任意正整數(shù)n都存在n個(gè)點(diǎn)使得所有點(diǎn)間兩兩距離為整數(shù)。

解答：歸納法。我們用歸納法證明一個(gè)更強(qiáng)的定理：對于任意n都存在n個(gè)點(diǎn)使得所有點(diǎn)間兩兩距離為整數(shù)，且這n個(gè)點(diǎn)共圓，并且有兩點(diǎn)是一條直徑的兩端。n=1，n=2很輕松。當(dāng)n=3時(shí)，一個(gè)邊長為整數(shù)的勾股三角形即可：比如說邊長為3，4，5的三角形。我們發(fā)現(xiàn)這樣的三個(gè)點(diǎn)共圓，邊長最長的邊是一條直徑。假設(shè)對于n大于等于3成立，我們來證明n+1。假設(shè)直徑為r（整數(shù)）。找一個(gè)不跟已存在的以這個(gè)直徑為斜邊的三角形相似的一個(gè)整數(shù)勾股三角形ABC（邊長a

西姆松定理

西姆松定理：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。

判定1

從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓周上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

推論：證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓．即連成的四邊形三邊中垂線有交點(diǎn)，可肯定這四點(diǎn)共圓．

判定2

1：把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓.

2：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓。

證法見下

判定3

把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．（割線定理的逆定理）

上述兩個(gè)定理統(tǒng)稱為圓冪定理的逆定理，即ABCD四個(gè)點(diǎn)，分別連接AB和CD,它們（或它們的延長線）交點(diǎn)為P，若PA*PB=PC*PD，則ABCD四點(diǎn)共圓。

證明：連接AC,BD，∵PA*PB=PC*PD

∴PA/PC=PD/PB

∵∠APC=∠BPD

∴△APC∽△DPB

當(dāng)P在AB,CD上時(shí)，由相似得∠A=∠D，且A和D在BC同側(cè)。根據(jù)方法2可知ABCD四點(diǎn)共圓。

當(dāng)P在AB,CD的延長線上時(shí)，由相似得∠PAC=∠PDB，且A和D在BC同側(cè)。同樣根據(jù)方法2可知ABCD四點(diǎn)共圓。

判定4

四邊形ABCD中，若有AB*CD+AD*BC=AC*BD，即兩對邊乘積之和等于對角線乘積，則ABCD四點(diǎn)共圓。該方法可以由托勒密定理逆定理得到。

托勒密定理逆定理：對于任意一個(gè)凸四邊形ABCD，總有AB*CD+AD*BC≥AC*BD,等號成立的條件是ABCD四點(diǎn)共圓。

如圖，在四邊形內(nèi)作△APB∽△DCB（只需要作∠PAB=∠CDB,∠PBA=∠CBD即可）

由相似得∠ABP=∠DBC，∠BAP=∠BDC

∴∠ABP+∠PBD=∠DBC+∠PBD

即∠ABD=∠PBC

又由相似得AB:BD=PB:CB=AP:CD

∴AB*CD=BD*AP，△ABD∽△PBC

∴AD:BD=PC:BC，即AD*BC=BD*PC

兩個(gè)等式相加，得AB*CD+AD*BC=BD*(PA+PC)≥BD*AC,等號成立的充要條件是APC三點(diǎn)共線

而APC共線意味著∠BAP=∠BAC，而∠BAP=∠BDC，∴∠BAC=∠BDC

根據(jù)判定2-1，ABCD四點(diǎn)共圓

判定5

西姆松定理逆定理：若一點(diǎn)在一三角形三邊上的射影共線，則該點(diǎn)在三角形外接圓上。

設(shè)有一△ABC，P是平面內(nèi)與ABC不同的點(diǎn)，過P作三邊垂線，垂足分別為L,M,N，若L,M,N共線，則P在△ABC的外接圓上。

如圖，PM⊥AC,PN⊥AB,PL⊥BC，且L,N,M在一條線上。

連接PB,PC，∵∠PLB+∠PNB=90°+90°=180°

∴PLBN四點(diǎn)共圓

∴∠PLN=∠PBN，即∠PLM=∠PBA

同理，∠PLM=∠PCM，即∠PLM=∠PCA=∠PBA

根據(jù)判定2-1，P在△ABC外接圓上.

希望我能幫助你解疑釋惑。

如果四邊形的4個(gè)角都相等,那么這4個(gè)角都是多少度;它是什么形或是什么形.

都是90度。正方形或長方形。因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和是360度

急！我想知道三角型的性質(zhì)。概念

三角形的性質(zhì) 1.三角形的任何兩邊的和一定大于第三邊 ，由此亦可證明得三角形的任意兩邊的差一定小于第三邊。 2.三角形內(nèi)角和等于180度 3.等腰三角形的頂角平分線，底邊的中線，底邊的高重合，即三線合一。 4.直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方--勾股定理。直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。 5.三角形共有六心：三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心、歐拉線 內(nèi)心：三條角平分線的交點(diǎn)，也是三角形內(nèi)切圓的圓心。 性質(zhì)：到三邊距離相等。 外心：三條中垂線的交點(diǎn)，也是三角形外接圓的圓心。 性質(zhì)：到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等。 重心：三條中線的交點(diǎn)。 性質(zhì)：三條中線的三等分點(diǎn)，到頂點(diǎn)距離為到對邊中點(diǎn)距離的2

等邊三角形內(nèi)有一個(gè)等腰三角形,且∠1=∠2.∠3=∠4,求∠5的度數(shù)?算式解法

應(yīng)為是等邊三角形， 三個(gè)角都是60度 所以：∠1+∠2=60度，∠3+∠4=60度，且∠1=∠2.∠3=∠4， 所以∠1=30度，∠3=30度， 三角形內(nèi)角和為180度 所以∠5=180-∠1-∠3=120度 答案為120度

請問如何證明四點(diǎn)共圓，證明了四點(diǎn)共圓之后可以得出什么結(jié)論，求教！急，明天早上考數(shù)學(xué)！

四點(diǎn)共圓 證明四點(diǎn)共圓的基本方法證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法：方法1 從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓。方法2 把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓． （若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）方法3 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓。方法4 把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相