勾股定理引發(fā)的數(shù)學(xué)猜想
- 教育綜合
- 2023-02-06 17:43:12
勾股定理在解決數(shù)學(xué)問題的重要作用
1 勾股定理文化背景及其對(duì)現(xiàn)代教學(xué)的影響 勾股定理是中國幾何的根源。中華數(shù)學(xué)的精髓，諸如開方術(shù)、方程術(shù)、天元術(shù)等技藝的誕生與發(fā)展，尋根探源，都與勾股定理有著密切關(guān)系。勾股形與比率算法相結(jié)合，經(jīng)推演變化已構(gòu)成各種各樣的測量法（如劉徽的“重差術(shù)”）。古代數(shù)學(xué)家常以勾股形代替一般三角形進(jìn)行研究，從而可以避開角的性質(zhì)的研討和不觸及平行的煩瑣理論，使幾何體系簡潔明了，問題的解法更加精致。從中國勾股定理的誕生與發(fā)展來看，中國古代數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)明顯有重視應(yīng)用、注重理論聯(lián)系實(shí)際、數(shù)形結(jié)合，以算為主、善于把問題分門別類建立一套套算法體系的特征。然而中國的傳統(tǒng)文化注重“經(jīng)世致用”，思維方式具有“重實(shí)際而黜玄想”的務(wù)勾股定理是什么意思
簡介：
勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。遠(yuǎn)在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應(yīng)用勾股定理，他們還知道許多勾股數(shù)組。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和尼羅河泛濫后測量土地時(shí)，也應(yīng)用過勾股定理。在中國，《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理；三國時(shí)代的蔣銘祖對(duì)《蔣銘祖算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，又給出了另外一個(gè)證明。直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。勾股定理現(xiàn)發(fā)現(xiàn)約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中給出了“趙爽弦圖”證明了勾股定理的準(zhǔn)確性，勾股數(shù)組程a2 + b2 = c2的正整數(shù)組(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股數(shù)。
“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一個(gè)最著名的例子。當(dāng)整數(shù)a,b,c滿足a2+b2=c2這個(gè)條件時(shí)，（a,b,c）叫做勾股數(shù)組。也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。”常見勾股數(shù)有（3,4,5）（5,12,13）（6,8,10）。
勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2 。勾股定理現(xiàn)發(fā)現(xiàn)約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股數(shù)組成a2+b2=c2的正整數(shù)組（a,b,c）。（3,4,5）就是勾股數(shù)。
勾股定理的證明方法：
加菲爾德證法
加菲爾德在證出此結(jié)論5年后，成為美國第20任總統(tǒng)，所以人們又稱其為“總統(tǒng)證法”。
在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，
，
，
“總統(tǒng)證法”示意圖
加菲爾德證法變式
該證明為加菲爾德證法的變式。
如果將大正方形邊長為c的小正方形沿對(duì)角線切開，則回到了加菲爾德證 法。相反，若將上圖中兩個(gè)梯形拼在一起，就變?yōu)榱舜俗C明方法。
大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個(gè)三角形的面積，即:
勾股定理的應(yīng)用方法：
小明學(xué)了勾股定理后很高興，興沖沖的回家告訴了爸爸：在△ABC中，若∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，如下圖，根據(jù)勾股定理，則a2+b2=c2．爸爸笑瞇瞇地聽完后說：很好，你又掌握了一樣知識(shí)，現(xiàn)在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理還成不成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想a2+b2與c2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(下圖備用)
答案:解：①當(dāng)三角形是銳角三角形時(shí)，
證明：作AD⊥BC垂足是D，設(shè)CD的長為x，
根據(jù)勾股定理得：b2-x2=AD2=c2-（a-x）2
整理得：a2+b2=c2+2ax
∵2ax＞0
∴a2+b2＞c2
②當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)
證明：過B點(diǎn)作AC的垂線交AC于D點(diǎn)，設(shè)CD的長為y
在直角三角形ABD中，AD2=c2-（a+y）2
在直角三角形ADC中，AD2=b2-y2，
∴b2-y2=c2-（a+y）2
整理得：a2+b2=c2-2ay
∵2ay＞0，∴a2+b2＜c2．
所以：①在銳角三角形中，a2+b2＞c2．
②在鈍角三角形中，a2+b2＜c2．
解析:根據(jù)題意要分銳角三角形、鈍角三角形分別證明，作出它們的高，根據(jù)高是兩個(gè)直角三角形的一個(gè)公用直角邊，利用勾股定理作出證明．
勾股定理怎么證明
歐幾里得證法：
在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊。延長此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。
在這個(gè)定理的證明中，我們需要如下四個(gè)輔助定理：
1、如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS）
2、三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
3、任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長的乘積。
4、任意一個(gè)矩形的面積等于其二邊長的乘積（據(jù)輔助定理3）。
證明的思路為：從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊。延長此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，把上方的兩個(gè)正方形，通過等高同底的三角形，以其面積關(guān)系，轉(zhuǎn)換成下方兩個(gè)同等面積的長方形。
設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。
其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
畫出過點(diǎn)A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K、L。
分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。
∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。
因?yàn)锳B=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。
因?yàn)锳與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。
因?yàn)镃、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四邊形BDLK=BAGF=AB2。
同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC2。
把這兩個(gè)結(jié)果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是個(gè)正方形，因此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。
擴(kuò)展資料：
勾股定理意義：
1、勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端。
2、勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，即它是第一個(gè)把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理。
3、勾股定理導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，大大加深了人們對(duì)數(shù)的理解。
4、勾股定理是歷史上第—個(gè)給出了完全解答的不定方程，它引出了費(fèi)馬大定理。
5、勾股定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理，并有巨大的實(shí)用價(jià)值．這條定理不僅在幾何學(xué)中是一顆光彩奪目的明珠，被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。
6、1971年5月15日，尼加拉瓜發(fā)行了一套題為“改變世界面貌的十個(gè)數(shù)學(xué)公式”郵票，這十個(gè)數(shù)學(xué)公式由著名數(shù)學(xué)家選出的，勾股定理是其中之首。
