浮漂上下運(yùn)動(dòng)的頻率決定于那些因素，這些因素決定頻率的數(shù)學(xué)形式是什么
- 教育綜合
- 2023-01-18 17:43:32
數(shù)學(xué)頻率的計(jì)算公式是什么？
頻數(shù)=總數(shù)×頻率。頻數(shù)又稱次數(shù)，指變量值中代表某種特征的數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，按分組依次排列的頻數(shù)構(gòu)成頻數(shù)數(shù)列，用來(lái)說(shuō)明各組標(biāo)志值對(duì)全體標(biāo)志值所起作用的強(qiáng)度，各組頻數(shù)的總和等于總體的全部單位數(shù)，頻數(shù)的表示方法，既可以用表的形式，也可以用圖形的形式。
頻率，是指單位時(shí)間內(nèi)完成周期性變化的次數(shù)，是描述周期運(yùn)動(dòng)頻繁程度的量，常用符號(hào)f或ν表示，單位為秒分之一，符號(hào)為s。
為了紀(jì)念德國(guó)物理學(xué)家赫茲的貢獻(xiàn)，人們把頻率的單位命名為赫茲，簡(jiǎn)稱"赫"，符號(hào)為Hz。每個(gè)物體都有由它本身性質(zhì)決定的與振幅無(wú)關(guān)的頻率，叫做固有頻率。頻率概念不僅在力學(xué)、聲學(xué)中應(yīng)用，在電磁學(xué)、光學(xué)與無(wú)線電技術(shù)中也常使用。
數(shù)學(xué)中的頻率是什么意思
英文釋義：frequency 對(duì)頻率的定義 單位時(shí)間內(nèi)完成振動(dòng)的次數(shù)，是描述振動(dòng)物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)頻繁程度的量，常用符號(hào)f或v表示，單位為秒-1。為了紀(jì)念德國(guó)物理學(xué)家赫茲的貢獻(xiàn)，人們把頻率的單位命名為赫茲，簡(jiǎn)稱“赫”。每個(gè)物體都有由它本身性質(zhì)決定的與振幅無(wú)關(guān)的頻率，叫做固有頻率。頻率概念不僅在力學(xué)、聲學(xué)中應(yīng)用，在電磁學(xué)和無(wú)線電技術(shù)中也常用。交變電流在單位時(shí)間內(nèi)完成周期性變化的次數(shù)，叫做電流的頻率。 [編輯本段]物理學(xué)上的： 物質(zhì)在1秒內(nèi)完成周期性變化的次數(shù)叫做頻率，常用f表示。 物理中頻率的單位是赫茲（Hz），簡(jiǎn)稱赫，也常用千赫（kHz）或兆赫（MHz）或GHz做單位。1kHz=1000Hz頻域特性的頻域分析
頻域（頻率域）——自變量是頻率,即橫軸是頻率,縱軸是該頻率信號(hào)的幅度,也就是通常說(shuō)的頻譜圖。頻譜圖描述了信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)及頻率與該頻率信號(hào)幅度的關(guān)系。
對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)域分析時(shí)，有時(shí)一些信號(hào)的時(shí)域參數(shù)相同，但并不能說(shuō)明信號(hào)就完全相同。因?yàn)樾盘?hào)不僅隨時(shí)間變化，還與頻率、相位等信息有關(guān)，這就需要進(jìn)一步分析信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)，并在頻率域中對(duì)信號(hào)進(jìn)行描述。動(dòng)態(tài)信號(hào)從時(shí)間域變換到頻率域主要通過(guò)傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換實(shí)現(xiàn)。周期信號(hào)靠傅立葉級(jí)數(shù)，非周期信號(hào)靠傅立葉變換。 一個(gè)頻域分析的簡(jiǎn)例可以通過(guò)圖1：一個(gè)簡(jiǎn)單線性過(guò)程中小孩的玩具來(lái)加以說(shuō)明。該線性系統(tǒng)包含一個(gè)用手柄安裝的彈簧來(lái)懸掛的重物。小孩通過(guò)上下移動(dòng)手柄來(lái)控制重物的位置。
任何玩過(guò)這種游戲的人都知道，如果或多或少以一種正弦波的方式來(lái)移動(dòng)手柄，那么，重物也會(huì)以相同的頻率開始振蕩，盡管此時(shí)重物的振蕩與手柄的移動(dòng)并不同步。只有在彈簧無(wú)法充分伸長(zhǎng)的情況下，重物與彈簧會(huì)同步運(yùn)動(dòng)且以相對(duì)較低的頻率動(dòng)作。
隨著頻率愈來(lái)愈高，重物振蕩的相位可能更加超前于手柄的相位，也可能更加滯后。在過(guò)程對(duì)象的固有頻率點(diǎn)上，重物振蕩的高度將達(dá)到最高。過(guò)程對(duì)象的固有頻率是由重物的質(zhì)量及彈簧的強(qiáng)度系數(shù)來(lái)決定的。
當(dāng)輸入頻率越來(lái)越大于過(guò)程對(duì)象的固有頻率時(shí)，重物振蕩的幅度將趨于減少，相位將更加滯后（換言之，重物振蕩的幅度將越來(lái)越少，而其相位滯后將越來(lái)越大）。在極高頻的情況下，重物僅僅輕微移動(dòng)，而與手柄的運(yùn)動(dòng)方向恰恰相反。 所有的線性過(guò)程對(duì)象都表現(xiàn)出類似的特性。這些過(guò)程對(duì)象均將正弦波的輸入轉(zhuǎn)換為同頻率的正弦波的輸出，不同的是，輸出與輸入的振幅和相位有所改變。振幅和相位的變化量的大小取決于過(guò)程對(duì)象的相位滯后與增益大小。增益可以定義為“經(jīng)由過(guò)程對(duì)象放大后，輸出正弦波振幅與輸入正弦波振幅之間的比例系數(shù)”，而相位滯后可以定義為“輸出正弦波與輸入正弦波相比較，輸出信號(hào)滯后的度數(shù)”。
與穩(wěn)態(tài)增益K值不同的是，“過(guò)程對(duì)象的增益和相位滯后”將依據(jù)于輸入正弦波信號(hào)的頻率而改變。在上例中，彈簧－重物對(duì)象不會(huì)大幅度的改變低頻正弦波輸入信號(hào)的振幅。這就是說(shuō)，該對(duì)象僅有一個(gè)低頻增益系數(shù)。當(dāng)信號(hào)頻率靠近過(guò)程對(duì)象的固有頻率時(shí)，由于其輸出信號(hào)的振幅要大于輸入信號(hào)的振幅，因此，其增益系數(shù)要大于上述低頻下的系數(shù)。而當(dāng)上例中的玩具被快速搖動(dòng)時(shí)，由于重物幾乎無(wú)法起振，因此該過(guò)程對(duì)象的高頻增益可以認(rèn)為是零。
過(guò)程對(duì)象的相位滯后是一個(gè)例外的因素。由于當(dāng)手柄移動(dòng)得非常慢時(shí)，重物與手柄同步振蕩，所以，在以上的例子中，相位滯后從接近于零的低頻段輸入信號(hào)就開始了。在高頻輸入信號(hào)時(shí)，相位滯后為“-180度”，也就是重物與手柄以相反的方向運(yùn)動(dòng)（因此，我們常常用‘滯后180度’來(lái)描述這類兩者反向運(yùn)動(dòng)的狀況）。
Bode圖譜表現(xiàn)出彈簧－重物對(duì)象在0.01-100弧度/秒的頻率范圍內(nèi)，系統(tǒng)增益與相位滯后的完整頻譜圖。這是Bode圖譜的一個(gè)例子，該圖譜是由貝爾實(shí)驗(yàn)室的Hendrick Bode于1940s年代發(fā)明的一種圖形化的分析工具。利用該工具可以判斷出，當(dāng)以某一特定頻率的正弦波輸入信號(hào)來(lái)驅(qū)動(dòng)過(guò)程對(duì)象時(shí)，其對(duì)應(yīng)的輸出信號(hào)的振動(dòng)幅度和相位。欲獲取輸出信號(hào)的振幅，僅僅需要將輸入信號(hào)的振幅乘以“Bode圖中該頻率對(duì)應(yīng)的增益系數(shù)”。欲獲取輸出信號(hào)的相位，僅僅需要將輸入信號(hào)的相位加上“Bode圖中該頻率對(duì)應(yīng)的相位滯后值”。 在過(guò)程對(duì)象的Bode圖中表現(xiàn)出來(lái)的增益系數(shù)和相位滯后值，反映了系統(tǒng)的非常確定的特征，對(duì)于一個(gè)有豐富經(jīng)驗(yàn)的控制工程師而言，該圖譜將其需要知道的、有關(guān)過(guò)程對(duì)象的一切特性都準(zhǔn)確無(wú)誤的告訴了他。由此，控制工程師運(yùn)用此工具，不僅可以預(yù)測(cè)“系統(tǒng)未來(lái)對(duì)于正弦波的控制作用所產(chǎn)生的系統(tǒng)響應(yīng)”，而且能夠知道“系統(tǒng)對(duì)任何控制作用所產(chǎn)生的系統(tǒng)響應(yīng)”。
傅立葉定理使得以上的分析成為可能，該定理表明任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。數(shù)學(xué)家傅立葉在1822年證明了這個(gè)著名的定理，并創(chuàng)造了為大家熟知的、被稱之為傅立葉變換的算法，該算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來(lái)計(jì)算不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。
從理論上說(shuō)，傅立葉變換和Bode圖可以結(jié)合在一起使用，用以預(yù)測(cè)當(dāng)線性過(guò)程對(duì)象受到控制作用的時(shí)序影響時(shí)產(chǎn)生的反應(yīng)。詳見以下：
1） 利用傅立葉變換這一數(shù)學(xué)方法，把提供給過(guò)程對(duì)象的控制作用，從理論上分解為不同的正弦波的信號(hào)組成或者頻譜。
2） 利用Bode圖可以判斷出，每種正弦波信號(hào)在經(jīng)由過(guò)程對(duì)象時(shí)發(fā)生了那些變化。換言之，在該圖上可以找到正弦波在每種頻率下的振幅和相位的改變。
3） 反之，利用反傅立葉變換這一方法，又可以將每個(gè)單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。
既然反傅立葉變換從本質(zhì)上說(shuō)，也是一種累加處理，那么過(guò)程對(duì)象的線性特征將會(huì)確保－“在第一步中計(jì)算得到的各種理論正弦波”所產(chǎn)生單獨(dú)作用的集合，應(yīng)該等效于“各不同正弦波的累加集合”共同產(chǎn)生的作用。因此，在第三步計(jì)算得到的總信號(hào)，將可以代表“當(dāng)所提供的控制作用輸入到過(guò)程對(duì)象時(shí)，過(guò)程對(duì)象的實(shí)際值”。
請(qǐng)注意，在以上這些步驟中，沒有哪個(gè)點(diǎn)不是由畫在圖上的控制器產(chǎn)生的單獨(dú)正弦波構(gòu)成。所有這些頻域方面的分析技術(shù)都是概念性的。這是一種方便的數(shù)學(xué)方法，運(yùn)用傅立葉變換（或者緊密相關(guān)的拉普拉斯變換），將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換為頻域信號(hào)，然后再用Bode圖或其他一些頻域分析工具來(lái)解決手頭的一些問(wèn)題，最后再用反傅立葉變換將頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換為時(shí)域信號(hào)。
絕大多數(shù)可用此方法解決的控制設(shè)計(jì)問(wèn)題，也可以在時(shí)域內(nèi)通過(guò)直接的操控來(lái)解決，但是對(duì)于計(jì)算而言，利用頻域的方法通常更簡(jiǎn)單一些。在上例中，就是用乘法和減法來(lái)計(jì)算過(guò)程實(shí)際值的頻譜，而該過(guò)程實(shí)際值是通過(guò)對(duì)給定的控制作用進(jìn)行傅立葉變換，爾后又對(duì)照Bode圖分析而得到的。
將所有的正弦波進(jìn)行正確的累加，就會(huì)產(chǎn)生如傅立葉變換所預(yù)示的那類形狀的信號(hào)。當(dāng)有時(shí)這一現(xiàn)象并不直觀，舉個(gè)例子可能有助于理解。
請(qǐng)?jiān)俅蜗胂肷厦婺莻€(gè)例子中小孩的重物－彈簧玩具，操場(chǎng)上的蹺蹺板，以及位于外部海洋上的船。設(shè)想這艘船以頻率為w和幅度為A的正弦波形式在海面上起起落落，我們同時(shí)再假設(shè)蹺蹺板也以頻率為3w和幅度為A/3的正弦波形式在振蕩，并且小孩以頻率為5w和幅度為A/5的正弦波形式在搖動(dòng)玩具。‘三張單獨(dú)的正弦波波形圖’已經(jīng)顯示出，如果我們將三個(gè)不同的正弦波運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分別觀察的話，每個(gè)正弦波運(yùn)動(dòng)將會(huì)體現(xiàn)出的形式。
現(xiàn)在假設(shè)小孩坐在蹺蹺板上，而蹺蹺板又依次固定在輪船的甲板上。如果這三者單獨(dú)的正弦波運(yùn)動(dòng)又恰巧排列正確的話，那么，玩具所表現(xiàn)出的總體運(yùn)動(dòng)就大約是一個(gè)方波－如圖4：三者合成的正弦波顯示的那樣。
以上并非一個(gè)非常確切的實(shí)際例子，但是卻明白無(wú)誤的說(shuō)明：基本頻率正弦波、振幅為三分之一的三倍頻率諧波、以及振幅為五分之一的五倍頻率諧波，它們波形的相加總和大約等于頻率為w、振幅為A的方波。甚至如果再加上振幅為七分之一的七倍頻率諧波、以及振幅為九分之一的九倍頻率諧波時(shí)，總波形會(huì)更像方波。其實(shí)，傅立葉定理早已說(shuō)明，當(dāng)不同頻率的正弦波以無(wú)窮級(jí)數(shù)的方式無(wú)限累加時(shí)，那么由此產(chǎn)生的總疊加信號(hào)就是一個(gè)嚴(yán)格意義上的、幅度為A的方波。傅立葉定理也可以用來(lái)將非周期信號(hào)分解成正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。
通過(guò)求解微分方程分析時(shí)域性能是十分有用的，但對(duì)于比較復(fù)雜的系統(tǒng)這種辦法就比較麻煩。因?yàn)槲⒎址匠痰那蠼庥?jì)算工作量將隨著微分方程階數(shù)的增加而增大。另外，當(dāng)方程已經(jīng)求解而系統(tǒng)的響應(yīng)不能滿足技術(shù)要求時(shí)，也不容易確定應(yīng)該如何調(diào)整系統(tǒng)來(lái)獲得預(yù)期結(jié)果。從工程角度來(lái)看，希望找出一種方法，使之不必求解微分方程就可以預(yù)示出系統(tǒng)的性能。同時(shí)，又能指出如何調(diào)整系統(tǒng)性能技術(shù)指標(biāo)。頻域分析法具有上述特點(diǎn),是研究控制系統(tǒng)的一種經(jīng)典方法,是在頻域內(nèi)應(yīng)用圖解分析法評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的一種工程方法。該方法是以輸入信號(hào)的頻率為變量，對(duì)系統(tǒng)的性能在頻率域內(nèi)進(jìn)行研究的一種方法。頻率特性可以由微分方程或傳遞函數(shù)求得,還可以用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定.頻域分析法不必直接求解系統(tǒng)的微分方程,而是間接地揭示系統(tǒng)的時(shí)域性能,它能方便的顯示出系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響,并可以進(jìn)一步指明如何設(shè)計(jì)校正.這種分析法有利于系統(tǒng)設(shè)計(jì)，能夠估計(jì)到影響系統(tǒng)性能的頻率范圍。特別地，當(dāng)系統(tǒng)中存在難以用數(shù)學(xué)模型描述的某些元部件時(shí)，可用實(shí)驗(yàn)方法求出系統(tǒng)的頻率特性，從而對(duì)系統(tǒng)和元件進(jìn)行準(zhǔn)確而有效的分析。
概率論與拉普拉斯決定論矛盾嗎？還有辯證決定論呢？
概率論與拉普拉斯決定論矛盾嗎？對(duì)這個(gè)問(wèn)題的爭(zhēng)論有很多，今天我們就來(lái)一起探討一下！
拉普拉斯決定論
根據(jù)拉普拉斯決定論的看法，宇宙在給定時(shí)刻的狀態(tài)可由適合無(wú)窮多個(gè)微分方程的無(wú)窮多個(gè)參數(shù)來(lái)決定，假如有某一個(gè)“無(wú)所不知的大天才”（人們把他稱為拉普拉斯妖）可以寫出所有的方程并且把它們用積分表示出來(lái)，那么就能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)宇宙在所有時(shí)間的全部演化。今天，人們往往認(rèn)為拉普拉斯決定論是錯(cuò)誤的，反對(duì)的觀點(diǎn)主要有：
1.世界是無(wú)限復(fù)雜的，事物是無(wú)限聯(lián)系的，因此，人們無(wú)法全面的認(rèn)識(shí)事物發(fā)展的所有因果鏈條，也無(wú)法對(duì)事物的發(fā)展做出準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)；
2.人具有能動(dòng)性，人的意識(shí)就不符合拉普拉斯決定論；
3.熱力學(xué)第二定律的概率解釋沖擊了拉普拉斯決定論；
4.量子力學(xué)指出微觀粒子的行為往往表現(xiàn)為一種概率特征；
5.混沌現(xiàn)象長(zhǎng)期行為不可預(yù)測(cè)。
我們不打算詳細(xì)敘述上述觀點(diǎn)，這一工作留給后面的文章。熱力學(xué)、量子力學(xué)和混沌學(xué)都要以概率論為工具，而且概率論研究的是隨機(jī)事件和隨機(jī)過(guò)程，這是不是表明概率論和拉普拉斯決定論互相矛盾呢？
概率論：隨機(jī)事件是一個(gè)理論模型
讓我們對(duì)概率論作一番仔細(xì)的考察。
概率論的研究對(duì)象是隨機(jī)事件，隨機(jī)事件是不是就簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單地理解為有時(shí)發(fā)生有時(shí)不發(fā)生（即具有隨機(jī)性）的事件呢？我們需要對(duì)這一概念做幾點(diǎn)說(shuō)明。
首先，隨機(jī)事件是針對(duì)條件組而言的，在指定的條件下，有的事件一定發(fā)生，有的事件不可能發(fā)生，有的事件可能發(fā)生可能不發(fā)生，分別對(duì)應(yīng)著必然事件，不可能事件和隨機(jī)事件。條件不同，事件的情況可能不同。例如，在地面上向上扔石子（條件組），石子落回地面就是必然事件；然而，換個(gè)條件情況就完全不一樣了。我們知道隨機(jī)事件的發(fā)生可由概率來(lái)刻畫，條件不同概率便有可能不同。就拿最經(jīng)典的擲色子來(lái)舉例子，擲完色子后，若甲看不到色子的情況（條件組），那么指定某一點(diǎn)朝上的概率就是六分之一；這時(shí)候乙偷偷地看了看色子的點(diǎn)數(shù)，告訴甲色子的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)（新的條件組），這時(shí)候指定某一點(diǎn)朝上的概率就是三分之一了，這樣才會(huì)有概率論中的條件概率。
從上面的例子可以看出，一個(gè)確定的事件照樣有可能是隨機(jī)事件，而且概率還會(huì)隨著條件的變化而改變，為什么會(huì)這樣呢？在這里，甲需要對(duì)色子的情況做出判斷，在擲色子之前，如果我們能夠考慮到擲色子的角度、力度、地球引力、空氣阻力、風(fēng)的影響、色子落到桌面的情況等，也就是把色子的受力情況完全刻畫清楚，那色子的運(yùn)動(dòng)情況就會(huì)完全確定下來(lái)，不過(guò)甲并不是拉普拉斯妖，根本就做不到這一點(diǎn)；而擲完之后，盡管色子的情況已經(jīng)是確定的了，但由于甲看不到色子的情況，也完全做不出確定的判斷。
很多時(shí)候，甲又往往需要做一個(gè)判斷，就只好將之當(dāng)作隨機(jī)的來(lái)處理。好在大量重復(fù)擲色子的過(guò)程中，每個(gè)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的頻率表現(xiàn)出了某種穩(wěn)定性，直觀的理解是：穩(wěn)定后的頻率就是概率。這樣，甲便具有了做出判斷的方式，但這種判斷也有隨機(jī)性。如果色子是均勻的，那么每個(gè)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的概率都是六分之一，這樣甲無(wú)論怎樣都不會(huì)具有優(yōu)勢(shì)；但色子如果不均勻致使某個(gè)點(diǎn)數(shù)更容易出現(xiàn)，甲又發(fā)現(xiàn)了這個(gè)點(diǎn)數(shù)的概率更大，那就比不清楚這個(gè)情況時(shí)更有優(yōu)勢(shì)，但這仍然不能保證每次都知道點(diǎn)數(shù)。從這里我們就能明白把事件看成是隨機(jī)的并不是否定現(xiàn)實(shí)情況的確定性，而是人只能處理自己能處理的問(wèn)題，為了問(wèn)題可以處理而把事件當(dāng)作隨機(jī)的來(lái)對(duì)待。
再舉一個(gè)例子，為了了解燈泡廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量如何，需要清楚燈泡照明的小時(shí)數(shù)，對(duì)生產(chǎn)的一批燈泡，把每個(gè)燈泡拿來(lái)都測(cè)試一下就可以獲得關(guān)于這批燈泡的確切信息。然而，這不僅費(fèi)時(shí)，而且測(cè)完后燈泡就報(bào)廢了，所以沒有人會(huì)這么解決問(wèn)題，只好抽取一批燈泡測(cè)試，以此來(lái)得出全體燈泡的概率信息。
下面做一些理論的說(shuō)明?？陀^世界無(wú)限復(fù)雜，為了解決問(wèn)題只好抓主要矛盾，但是次要矛盾的忽略就帶來(lái)了失真。對(duì)我們而言，解決問(wèn)題越簡(jiǎn)單越好，失真程度越小越好，但實(shí)際情況往往是追求簡(jiǎn)單得以更大的失真程度為代價(jià)，簡(jiǎn)單性與代表性構(gòu)成了一對(duì)矛盾，模型就是簡(jiǎn)單性與代表性的對(duì)立統(tǒng)一，例如質(zhì)點(diǎn)便是如此?？茖W(xué)研究是以模型為前提的，數(shù)學(xué)研究照樣需要模型，隨機(jī)事件就是一個(gè)模型，它在概率論中的作用就類似質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)中的作用。盡管在現(xiàn)實(shí)情況中它是確定的，但我們把事件看成隨機(jī)的，以便于得到具有簡(jiǎn)單性和代表性的模型。
歸納和演繹的穩(wěn)定性
我們能夠研究隨機(jī)事件的關(guān)鍵是試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)頻率的穩(wěn)定性，這里的穩(wěn)定性我們也需要做一些說(shuō)明。首先，頻率的穩(wěn)定性不是隨意假定的，而是在大量試驗(yàn)中歸納出來(lái)的，也就是說(shuō)在許多隨機(jī)事件那里都發(fā)現(xiàn)頻率會(huì)隨試驗(yàn)次數(shù)的增大而在某個(gè)確定值附近波動(dòng)，只有穩(wěn)定的情況出現(xiàn)才能用概率論的方法研究相應(yīng)的隨機(jī)事件，在此過(guò)程中歸納是前提。
其次，這里的穩(wěn)定性和獲得實(shí)驗(yàn)序列的方法是無(wú)關(guān)的。舉例來(lái)說(shuō)，買彩票中獎(jiǎng)是隨機(jī)事件，這就意味著傾向于奇數(shù)的人和傾向于偶數(shù)的人的中獎(jiǎng)概率（https://www.shuxuejingwei.com/probability_math/）得是一樣的，不能說(shuō)用抽奇數(shù)的方法得到的序列比用抽偶數(shù)的方法得到的序列更容易或更不容易中獎(jiǎng)。
最后，數(shù)學(xué)需要對(duì)這一穩(wěn)定性做出定量的描述，這就是我們概率論中學(xué)到的大數(shù)定律。需要注意的是：頻率的穩(wěn)定不排除個(gè)別異常值的出現(xiàn)，因此也是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，我們?nèi)匀恢荒苡酶怕蕘?lái)做出定量的描述。
上面提到歸納是研究隨機(jī)事件的前提，但歸納的成本往往很大，耗時(shí)較長(zhǎng)，而且有些試驗(yàn)極難操作或者不易觀察。因此，如果所有新出現(xiàn)的隨機(jī)事件都用大量試驗(yàn)進(jìn)行歸納，這是效率極低的，甚至常常是不可能做到的。既然已經(jīng)有了大量材料的積累，我們就可以抽象出一些基本假定，用演繹的方法得到新的概率規(guī)律。而且，我們往往從對(duì)稱性的考慮出發(fā)得到基本事件的概率。例如均勻六面體任意一面觸地的概率都是六分之一，那么由對(duì)稱性我們也有理由相信均勻十二面體任意一面觸地的概率是十二分之一。歸納是直接的驗(yàn)證，在應(yīng)用演繹得到的結(jié)論時(shí)也做了間接的驗(yàn)證。歸納和演繹各有各的作用，不能替代。前提只能歸納，有了前提才能演繹，因此所有的科學(xué)革命都是從歸納開始的。一旦有了新的歸納，只有通過(guò)演繹才能使它的威力充分發(fā)揮出來(lái)。
概率論中的概念并不能表示現(xiàn)實(shí)事物相應(yīng)的特點(diǎn)，就像現(xiàn)實(shí)中確定的事件照樣有可能被看作隨機(jī)事件，獨(dú)立事件也并不表示兩個(gè)事件毫無(wú)聯(lián)系。我們還是舉例來(lái)看這個(gè)事情。
蒲豐投針試驗(yàn)是概率論發(fā)展史上一個(gè)著名的例子，這是歷史上第一次用幾何的方式描述概率問(wèn)題。投針試驗(yàn)是這么說(shuō)的：白紙上有若干條等間距的平行線，往白紙上投針，問(wèn)針與線相交的概率是多少？這個(gè)概率顯然與針的長(zhǎng)度有關(guān)，對(duì)于固定長(zhǎng)度的針，我們注意到針是否與線相交可以由針的中點(diǎn)位置以及針和線的夾角來(lái)確定，假定針的中點(diǎn)位置和針線夾角是獨(dú)立的，就可以借助于積分方法可以給出問(wèn)題的解答。同時(shí)需要注意針的中點(diǎn)位置和針線夾角是從不同角度刻畫針的位置，從產(chǎn)生角度是聯(lián)系在一起的。事件的獨(dú)立性是模型與模型間的關(guān)系，不代表真實(shí)事物間沒有聯(lián)系，這樣就使得獨(dú)立事件的應(yīng)用范圍大大拓展，極大程度地保證了獨(dú)立事件有關(guān)公式的運(yùn)用。
概率論和拉普拉斯決定論并不矛盾
做了這些考察和說(shuō)明后，概率論和拉普拉斯決定論是否矛盾的回答就十分顯然了。拉普拉斯決定論肯定了一切現(xiàn)象都有確定的因果鏈條，說(shuō)明的是現(xiàn)實(shí)世界必然因果關(guān)系的存在性。它的意義在于告訴我們，既然客觀世界是確定的，而且有確定的因果關(guān)系，那我們就老老實(shí)實(shí)地去揭示這些因果關(guān)系。但是，它并沒有告訴我們?nèi)绾稳ソ沂疽蚬P(guān)系，而且人的認(rèn)識(shí)確實(shí)是有限度的，我們對(duì)客觀世界因果關(guān)系的認(rèn)識(shí)是一個(gè)不斷逼近的極限過(guò)程。概率論則是基于能切實(shí)把握到的信息，通過(guò)建立模型來(lái)處理問(wèn)題或者更好地做出判斷，它與拉普拉斯決定論探討的根本不是同一層面的問(wèn)題，自然不會(huì)相互矛盾。而且盡管隨機(jī)事件帶有不確定性，但是概率規(guī)律仍然存在，概率規(guī)律可以理解為微觀規(guī)律或規(guī)律組的宏觀表現(xiàn)形式。
我們回到擲色子的例子做一個(gè)說(shuō)明。前面我們說(shuō)過(guò)在考慮到所有的因素時(shí)是可以確定一次具體擲色子的點(diǎn)數(shù)的，不同的因素起到不同的作用而且能導(dǎo)致頻率的穩(wěn)定性。在擲色子的過(guò)程中，色子是否均勻影響到質(zhì)心的位置從而影響重力的作用情況，重力是起主導(dǎo)作用的力并且作用情況是穩(wěn)定的。色子受的空氣阻力一是可以近似忽略，二是即使不忽略也不明顯地影響點(diǎn)數(shù)情況。其次像拋擲的角度、力度等等對(duì)點(diǎn)數(shù)沒有明顯的傾向性，在大量拋擲時(shí)這些因素的影響會(huì)相互抵消掉。正是這些因素的作用特點(diǎn)導(dǎo)致了頻率的穩(wěn)定情況。一次具體的拋擲過(guò)程盡管確定但由于人能的限制預(yù)測(cè)不了，而宏觀的穩(wěn)定表現(xiàn)恰恰是一次次確定的結(jié)果導(dǎo)致的，而且是可以觀察和預(yù)測(cè)的。概率論和拉普拉斯決定論在這個(gè)過(guò)程中探討的是不同的問(wèn)題，是可以相互統(tǒng)一的。
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