(列 X(n)=a^nu(n) ,計(jì)算該序列的Z變換,并指出其收斂域:根據(jù)Z變換收斂域判定該？

假設(shè) $a$ 是一個(gè)常數(shù)，$u(n)$ 是單位階躍函數(shù)，即 $u(n)=0$（$n<0$），$u(n)=1$（$n\geq 0$）。則 $X(n)=a^nu(n)$。 將 $X(n)$ 的 Z 變換表示為 $X(z)=\mathcal{Z}{X(n)}=\sum_{n=0}^\infty a^nu(n)z^{-n}$。 根據(jù) Z 變換的定義，將 $u(n)$ 的 Z 變換 $U(z)=\mathcal{Z}{u(n)}=\frac{1}{1-z^{-1}}$ 代入上式中，得到： $$X(z)=\sum_{n=0}^\infty a^n z^{-n}=\sum_{n=0}^\infty \lef

矩形序列的z變換收斂域怎么求

有限長(zhǎng)序列 X(z) = Σ(n = n1，n2)x(n)z–n ① n1，n2是有限長(zhǎng)整數(shù)，分別是x(n)的起點(diǎn)和終點(diǎn)。 于是 除了當(dāng)n1＜0時(shí)z=∞以及n2＞0時(shí)z=0之外，z在所有區(qū)域均收斂 即 有限長(zhǎng)序列的收斂區(qū)域至少是 0＜ΙzΙ＜∞ 而且這個(gè)收斂域還包括z=0或包括z=∞ 右邊序列 X(z) = Σ(n=n1，∞)x(n)z–n ② 右邊序列的收斂域是一個(gè)半徑為Rx– 的圓的外部，即 ΙzΙ＞Rx– 若n1≥0，則z變換將在z=∞處收斂 反之，若n1 ＜0，則它在z=∞處將不收斂 左邊序列 X(z) = Σ(n=–∞，n2)x(n)z–n ③ 左邊序列的收斂區(qū)域是一個(gè)圓的內(nèi)部，即

z變換的零極點(diǎn)怎么求

z變換的零極點(diǎn)求法：實(shí)驗(yàn)二Z變換、離散系統(tǒng)零極點(diǎn)分布和頻率分析，零極點(diǎn)并不包含常數(shù)的比例項(xiàng)，3+3x和1+x是一樣的，所以需要z，p，k。

函數(shù)在這一點(diǎn)沒有函數(shù)值或有函數(shù)值但不可導(dǎo)，其次，函數(shù)在這一點(diǎn)的極限值為∞。這也是它們的求法。比如f(z)=z/(1+z)，定義域是z≠-1，函數(shù)是初等函數(shù)，在其定義區(qū)域內(nèi)解析，所以不解析點(diǎn)是z=-1。當(dāng)z→-1時(shí)，f(z)→∞，所以z=-1是極點(diǎn)。而f(0)=0，所以z=0是零點(diǎn)。

在物理學(xué)中

零極點(diǎn)最主要的作用是用來分析電路的頻率特性，系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，還可以得出系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)等相關(guān)方面的參數(shù)。零極點(diǎn)本來就是用來描述電路特性的，在當(dāng)頻率在某個(gè)零點(diǎn)處，系統(tǒng)的幅值增益增加20dB/dec，在某個(gè)極點(diǎn)處減小20dB/dec，但其相位特性還得依據(jù)實(shí)際電路來決定。零極點(diǎn)分布圖中：零點(diǎn)用圈兒表示，極點(diǎn)用叉表示。

Z變換的收斂域

Z變換的存在充分必要條件是：級(jí)數(shù)絕對(duì)可和。使級(jí)數(shù)絕對(duì)可和的成立的所有Z值稱為Z變換域的收斂域。由Z變換的表達(dá)式及其對(duì)應(yīng)的收斂域才能確定原始的離散序列。 收斂域可用公式表示為：
（1）收斂域是一個(gè)圓環(huán)，有時(shí)可向內(nèi)收縮到原點(diǎn)，有時(shí)可向外擴(kuò)展到∞，只有 的收斂域是整個(gè)Z平面；
（2）在收斂域內(nèi)沒有極點(diǎn)，X(Z)在收斂域內(nèi)每一點(diǎn)上都是解析函數(shù)。 （1）有限長(zhǎng)序列
指序列只在有限長(zhǎng)的區(qū)間內(nèi)為非零值，即
顯然|Z|在整個(gè)開域 都能滿足Z變換存在條件，因此有限長(zhǎng)序列的收斂域是除0及∞兩個(gè)點(diǎn)（對(duì)應(yīng)n>0和n<0不收斂）以外的整個(gè)Z平面： 。如果對(duì)n1，n2加以一定的限制，如 或 ，則根據(jù)條件 ，收斂域可進(jìn)一步擴(kuò)大為包括0點(diǎn)或∞點(diǎn)的半開域。
（2）右邊序列
指序列 只在 有值，而 時(shí)， ，這時(shí) ，其收斂域?yàn)槭諗堪霃?以外的Z平面，即 。右邊序列Z變換可表示為：

（3）左邊序列
指序列 只在 有值，而 時(shí)， ，這時(shí)，其收斂域?yàn)槭諗堪霃?以內(nèi)的Z平面，即 。左邊序列Z變換可表示為：
（4）雙邊序列
可看作一個(gè)左邊序列和一個(gè)右邊序列之和，因此雙邊序列Z變換的收斂域是這兩個(gè)序列Z變換收斂域的公共部分。雙邊序列Z變換可表示為：
（如果 ，則存在公共的收斂區(qū)間， 有收斂域： 如果 ，無公共收斂區(qū)間， 無收斂域，不收斂。 ）

Z變換的性質(zhì)

根據(jù)以上討論，Z變換和頻譜是同一類概念，二者之間僅僅是一種符號(hào)的代換，因此，Z變換具有與頻譜相同的性質(zhì)。在數(shù)據(jù)處理中，根據(jù)實(shí)際問題的需要和處理上的方便，可以從Z變換和頻譜中任選其一。

1.線性疊加信號(hào)的Z變換

若

物探數(shù)字信號(hào)分析與處理技術(shù)

式中收斂域(R_-，R₊)為收斂域(R_x-，R_x+)和收斂域(R_y-，R_y+)的公共收斂域，即

R_-=max［R_x-，R_y-］，R₊=min［R_x+，R_y+］

2.移位信號(hào)的Z變換

離散序列x(n)，其中n表示時(shí)間，延遲時(shí)間τ發(fā)出這個(gè)信號(hào)，便得到x(n-τ)，我們稱x(n-τ)為x(n)的時(shí)移信號(hào)或移位信號(hào)。移位信號(hào)的Z變換與原來信號(hào)的關(guān)系就是時(shí)移定理:

若x(n)X(Z)，則移位信號(hào)

反之Z^τX(Z)所對(duì)應(yīng)的信號(hào)是x(n-τ)。

例 設(shè)y(n)Y(Z)，求Z³y(z)，y(Z)+6Zy(Z)+7Z⁵y(Z)所對(duì)應(yīng)的信號(hào)。

按照時(shí)移定理，Z³y(Z)所對(duì)應(yīng)的信號(hào)為y(n-3)，y(Z)+6Zy(Z)+7Z⁵y(Z)所對(duì)應(yīng)的信號(hào)為y(n)+6y(n-1)+7y(n-5)。

3.負(fù)冪(翻轉(zhuǎn)信號(hào))的Z變換

若離散序列

x(-n)可視為x(n)的翻轉(zhuǎn)信號(hào)，則

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4.序列與指數(shù)相乘

若

則

5.微分

若

則

6.共軛信號(hào)的Z變換

若

則

7.褶積信號(hào)的Z變換

若

則

收斂域?yàn)閮蓚€(gè)序列收斂域的公共部分

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若極點(diǎn)消去，收斂域可擴(kuò)大

證明:

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8.相關(guān)的Z變換

實(shí)離散序列x(n)與y(n)的相關(guān)r_xy(n)，實(shí)際上也是一種褶積r_xy(n)=x(n)*y(-n)，按照褶積和翻轉(zhuǎn)信號(hào)Z變換的性質(zhì)，可得到相關(guān)序列r_xy(n)的Z變換為

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特別地，自相關(guān)序列r_xx(n)=x(n)*x(-n)的Z變換為

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設(shè)離散信號(hào)為

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則g(n)的Z變換為

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g(n)的自相關(guān)函數(shù)r_gg(n)的Z變換為

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9.逆Z變換

由于頻譜與Z變換之間只是一種符號(hào)的代換，實(shí)質(zhì)并未改變。因此由頻譜的性質(zhì)可以得出Z變換相應(yīng)的性質(zhì)。例如，信號(hào)與其頻譜具有單值對(duì)應(yīng)性，信號(hào)與其Z變換也具有單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，或者說Z變換的展開式具有唯一性。利用唯一性，我們可以從Z變換的展開式中直接求得相應(yīng)的離散序列。

例1 已知x(n)的Z變換為

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求x(n)。

根據(jù)Z變換公式(5-2-2)， ，可以得到

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例2 已知b(n)的Z變換為B(Z)=Z-α，求b(n)。

同樣根據(jù)Z變換公式(5-2-2)， ，可以得到

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或?qū)懗蒪(n)=(-α，1)

例3 已知g(n)的自相關(guān)函數(shù)r_gg(n)的Z變換為

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由單值對(duì)應(yīng)性可知r_gg(n)為

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