土力學(xué)壓縮試驗(yàn)變形值怎么算

壓縮試驗(yàn)是測(cè)定材料在軸向靜壓力作用下的力學(xué)性能的試驗(yàn)，是材料機(jī)械性能試驗(yàn)的基本方法之一。主要用于測(cè)定金屬材料在室溫下單向壓縮的屈服點(diǎn)和脆性材料的抗壓強(qiáng)度。

壓縮模量壓縮模量是指土在完全側(cè)限條件下的豎向附加應(yīng)力與相應(yīng)的應(yīng)變?cè)隽恐龋簿褪侵竿馏w在側(cè)向完全不能變形的情況下受到的豎向壓應(yīng)力與豎向總應(yīng)變的比值。壓縮模量可以通過室內(nèi)試驗(yàn)得到，是判斷土的壓縮性和計(jì)算地基壓縮變形量的重要指標(biāo)之一。土的壓縮模量越小，土的壓縮性越高。

壓縮系數(shù)：

壓縮曲線反映了土受壓后的壓縮特性，它的形狀與土試樣的成分、結(jié)構(gòu)、狀態(tài)以及受力歷史有關(guān)。壓縮性不同的土，其中，e-p曲線的形狀是不一樣的。假定試樣在某一壓力P，作用下已經(jīng)壓縮穩(wěn)定，現(xiàn)增加一壓力增量至壓力Pz。

對(duì)于該壓力增量，曲線越陡，土的孑L隙比減少越顯著，表示體積壓縮越大，該土的壓縮性越高。壓縮曲線的坡度可以形象地說明土的壓縮性的高低。土體壓縮系數(shù)是描述土體壓縮性大小的物理量，被定義為壓縮試驗(yàn)所得e-p曲線上某一壓力段的割線的斜率。

壓縮指數(shù)壓縮試驗(yàn)所得土孔隙比與有效壓力對(duì)數(shù)值關(guān)系曲線上直線段的斜率。

彎曲模量指的是什么？

彎曲模量又稱撓曲模量，是指彎曲應(yīng)力比上彎曲產(chǎn)生的應(yīng)變。

材料在彈性極限內(nèi)抵抗彎曲變形的能力，彎曲模量即彎曲應(yīng)力與彎曲所產(chǎn)生的形變之比。彎曲性能是塑料材料重要的物理性能指標(biāo)之一，彎曲模量是檢測(cè)塑料材料質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)的重要數(shù)據(jù)之一。彎曲模量也用于衡量某種材料的勁度。

彎曲模量的試驗(yàn)方法

彎曲模量的試驗(yàn)方法通常是將試樣置于萬能試驗(yàn)機(jī)支座上，并用載荷刀尖在支座中心施加一集中負(fù)荷，形成一定速率的三點(diǎn)式彎曲負(fù)荷。彎曲模量試驗(yàn)的適用樣品包括：紙、紙板、芯層、硬紙板、瓦楞紙板、硬質(zhì)泡沫塑料等。E為彎曲模量；L、b、d分別為試樣的支撐跨度、寬度和厚度；m為載荷(P)-撓度(δ)曲線上直線段的斜率，單位為MPa。

以上內(nèi)容參考：百度百科-彎曲模量

平面應(yīng)變斷裂韌度K_ⅠC的測(cè)試

本節(jié)內(nèi)容主要來源于ISO12737：2005《金屬材料平面應(yīng)變斷裂韌度K_ⅠC試驗(yàn)方法》和GB/T4161-2007《金屬材料平面應(yīng)變斷裂韌度K_ⅠC試驗(yàn)方法》。

圖7-1 斷裂韌度K_C隨厚度B的變化

根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)，帶裂紋體裂紋尖端附近的彈性應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度可用應(yīng)力強(qiáng)度因子K（MPa·m^1/2）來度量。對(duì)Ⅰ型（張開型）裂紋的斷裂準(zhǔn)則為：當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度因子K_Ⅰ達(dá)到其臨界值K_C時(shí)，裂紋即失穩(wěn)擴(kuò)展而導(dǎo)致斷裂。K_C可由帶裂紋的試件測(cè)得，它代表材料抵抗裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展的能力，稱為“斷裂韌度”。試驗(yàn)表明，材料的斷裂韌度K_C隨試件厚度B變化，如圖7-1所示。在試件厚度連到某一定值B₀后，斷裂韌度不再隨厚度變化，此時(shí)則認(rèn)為裂紋尖端附近的材料處于平面應(yīng)變狀態(tài)，其對(duì)應(yīng)的斷裂韌度值稱為“平面應(yīng)變斷裂韌度”，用符號(hào)K_ⅠC表示。顯然，K_ⅠC為一材料常數(shù)。

一、試件

圖7-2為標(biāo)準(zhǔn)三點(diǎn)彎曲試樣，S為梁的跨度，B、W為橫截面的寬和高，a為裂紋長(zhǎng)度，（W-a）為韌帶寬度或稱韌帶尺寸。圖7-3為緊湊拉伸試樣。

圖7-2 標(biāo)準(zhǔn)三點(diǎn)彎曲試樣

1.主要尺寸

為滿足平面應(yīng)變和小范圍屈服的條件，要求B、a、（W-a）滿足下式：

巖石斷裂與損傷

式中σ_s為材料的屈服強(qiáng)度，根據(jù)σ_s/E值的不同可求出試樣的最小厚度B_min和裂紋的最小長(zhǎng)度a_min，最小尺寸如表7-1所示，我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)采用：a/W=0.45～0.55。

圖7-3 緊湊拉伸試樣

表7-1 試樣的最小厚度B_min和裂紋的最小長(zhǎng)度a_min

2.裂紋的制作

一般采用銑削加工或線切割，用交變載荷預(yù)制疲勞引發(fā)裂紋，應(yīng)滿足下列要求：

（1）符合尖裂紋的要求：疲勞裂紋長(zhǎng)度3～5mm（至少不小于1.5mm）。

（2）預(yù)制疲勞裂紋長(zhǎng)度在0.025a的最后階段，疲勞應(yīng)力強(qiáng)度因子最大值滿足：K_fmax＜0.6K_ⅠC。K_fmax＜0.00032E（MPam^1/2）（避免載荷過大鈍化裂紋尖端）。

（3）保證疲勞裂紋的擴(kuò)展：疲勞應(yīng)力強(qiáng)度因子幅度ΔK≥0.9 K_fmax。

二、測(cè)試原理

為了測(cè)定K_ⅠC值，需要對(duì)帶有裂紋的試件進(jìn)行拉伸或彎曲試驗(yàn)，使裂紋產(chǎn)生Ⅰ型擴(kuò)展。而K_ⅠC就是裂紋開始失穩(wěn)擴(kuò)展的臨界點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子值。采用合適的含裂紋試件，在試驗(yàn)面上加載，其應(yīng)力強(qiáng)度因子K_Ⅰ可概括為如下形式：

K_Ⅰ=F·f（a）

式中：F為載荷；a為裂紋長(zhǎng)度；f（a）為與試件形式、外形尺寸、加載形式有關(guān)的a的函數(shù)。根據(jù)上式，應(yīng)有

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式中：F_Q為臨界載荷；a_Q為臨界裂紋長(zhǎng)度。顯然，只要從試驗(yàn)中測(cè)定F_Q和a_Q，即可得到K_ⅠC。

在理想平面應(yīng)變條件下，裂紋前緣處的材料處于三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)，呈現(xiàn)良好的脆性。這時(shí)，只要裂紋一開始擴(kuò)展，就會(huì)導(dǎo)致失穩(wěn)斷裂，也就是說，開裂點(diǎn)即為失穩(wěn)點(diǎn)，臨界裂紋長(zhǎng)度a_Q等于初始的裂紋長(zhǎng)度a。但是，對(duì)于工程平面應(yīng)變條件而言，由于試件表面附近平面應(yīng)力狀態(tài)的影響，裂紋開始擴(kuò)展后經(jīng)過一個(gè)較短的穩(wěn)定擴(kuò)展階段才失穩(wěn)斷裂，開裂點(diǎn)并非失穩(wěn)點(diǎn)。為消除側(cè)表面附近平面應(yīng)力狀態(tài)所造成的塑性影響以測(cè)得作為材料常數(shù)的K_ⅠC，應(yīng)取開裂點(diǎn)作為臨界點(diǎn)。但是，精確地測(cè)定開裂點(diǎn)是困難的，所以，在K_ⅠC試驗(yàn)方法中，對(duì)于明顯地存在裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展階段的情況，取裂紋等效擴(kuò)展2%所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（條件開裂點(diǎn)）作為臨界點(diǎn)來確定F_Q，而a_Q則近似地采用初始裂紋長(zhǎng)度a。

三點(diǎn)彎曲試樣，GB/T4161-2007推薦采用的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算公式為

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表7-2列出了三點(diǎn)彎曲試樣在a/W=0.45～0.55時(shí)的f（a/W）值，可方便查用。

表7-2 三點(diǎn)彎曲試樣的f（a/W）數(shù)值表

對(duì)于緊湊拉伸試樣，應(yīng)力強(qiáng)度因子由下式計(jì)算：

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表7-3列出了緊湊拉伸試樣在a/W=0.45～0.55時(shí)的f（a/W）值。

表7-3 緊湊拉伸試樣的f（a/W）值

續(xù)表

三、測(cè)試裝置

不同試樣的加載方法不同，三點(diǎn)彎曲試樣的測(cè)試裝置如圖7-4所示，試驗(yàn)機(jī)為試樣提供支承和載荷，載荷信號(hào)和引伸計(jì)信號(hào)通過控制器與計(jì)算機(jī)連接，可得到載荷與切口位移的關(guān)系曲線。

圖7-4 試驗(yàn)裝置示意圖

四、實(shí)驗(yàn)步驟

1.試樣制備

（1）裂紋面取向應(yīng)嚴(yán)格按GB/T4161—2007標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。在實(shí)際構(gòu)件中取樣時(shí)，試件的裂紋取向應(yīng)與構(gòu)件中最危險(xiǎn)的裂紋方向一致。

（2）試件厚度B可根據(jù)式（7-1）選擇。

（3）取同爐批料加工2～3件常規(guī)拉伸試件，供測(cè)σ_s用，且必須和K_ⅠC試件同爐熱處理。

（4）試件粗加工和熱處理后，再進(jìn)行精加工，其最后尺寸和表面光潔度嚴(yán)格按GB/T4161—2007規(guī)定執(zhí)行。

（5）小試樣用線切割機(jī)制出切口，切口根部圓弧半徑小于0.08mm。

2.預(yù)制疲勞裂紋

為了模擬實(shí)際構(gòu)件中存在的尖銳裂紋，使得到的K_ⅠC數(shù)據(jù)可以對(duì)比和實(shí)際應(yīng)用，試件必須在疲勞試驗(yàn)機(jī)上預(yù)制疲勞裂紋。其方法是：先用線切割機(jī)在試樣上切割8mm長(zhǎng)的機(jī)械切口，然后在疲勞試驗(yàn)機(jī)上使試樣承受循環(huán)交變應(yīng)力，引發(fā)尖銳的疲勞裂紋，約為2mm。

將試件打磨一遍，去掉表面油垢。在中心機(jī)械切口兩側(cè)各7.5mm處劃線，用以標(biāo)記放在疲勞試驗(yàn)機(jī)上；分別在兩側(cè)的機(jī)械切口前沿2mm處劃線，用以觀察其后疲勞裂紋生長(zhǎng)到此線。預(yù)制疲勞裂紋時(shí)，應(yīng)仔細(xì)監(jiān)測(cè)試樣兩側(cè)裂紋的萌生情況，避免兩側(cè)裂紋不對(duì)稱發(fā)展。

3.測(cè)定條件

（1）試件厚度應(yīng)在疲勞裂紋前緣韌帶部分測(cè)量三次，取其平均值作為B。測(cè)量精度要求0.02mm或0.1%B，取其中較大者記錄。

（2）試件高度應(yīng)在切口附近測(cè)量三次，取其平均值作為W，測(cè)量精度要求0.02mm或0.1%W，取其中較大者記錄。

4.試驗(yàn)程序

（1）在試件上粘貼刀口以便能安裝夾式引伸計(jì)，刀口外線間距不得超過22mm，安裝夾式引伸計(jì)時(shí)要使刀口和引伸計(jì)的凹槽配合好。

（2）按圖7-4安裝三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)支座，使加載線通過跨距S的中點(diǎn)，偏差在1%S，而且試樣與支承輥的軸線應(yīng)成直角，偏差在±2°以內(nèi)。

（3）標(biāo)定夾式引伸計(jì)。

（4）開動(dòng)試驗(yàn)機(jī)，緩慢勻速加載，一般試驗(yàn)機(jī)速度為0.5～2mm/min，以使K_Ⅰ的增長(zhǎng)速率不至太快，保證應(yīng)力強(qiáng)度因子的增長(zhǎng)速率在0.55～2.75MN·m^-3/2/s之間。加載至試樣明顯開裂，停機(jī)。記錄載荷F和刀口張開位移V之間的曲線。

（5）取下夾式引伸計(jì)，開動(dòng)試驗(yàn)機(jī)，將試樣壓斷，停機(jī)取下試樣。

（6）記錄試驗(yàn)溫度和斷口外貌。

五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析及處理

1.裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展時(shí)的臨界載荷F_Q

由于試樣厚度與材料韌性不同，試驗(yàn)所得F-V曲線主要有三種類型，它們分別對(duì)應(yīng)于三種斷口外貌（圖7-5）。

圖7-5 三種典型的F-V曲線

F_Q則由下述方法確定：在試驗(yàn)中自動(dòng)記錄載荷F隨試件切口邊緣（裂紋嘴）處兩個(gè)裂紋表面的相對(duì)位移V的變化曲線，即F-V曲線，以對(duì)初始線性段斜率下降5%的割線與F-V曲線交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的載荷F₅作為取得F_Q的依據(jù)。如果在載荷達(dá)到F₅曲線各點(diǎn)載荷均小于F₅，則取F_Q=F₅，可以證明，這樣的臨界載荷大致對(duì)應(yīng)于裂紋產(chǎn)生2%的等效擴(kuò)展，這種情況對(duì)應(yīng)著試件表面附近的平面應(yīng)力狀態(tài)存在顯著影響。如果載荷達(dá)到F₅前曲線各點(diǎn)對(duì)應(yīng)載荷的最大值大于或等于F₅，則取這個(gè)載荷最大值作為F_Q，這種情況接近于理想平面應(yīng)變狀態(tài)。

簡(jiǎn)單地講，從F-V曲線圖上確定F_Q的方法是：先從原點(diǎn)O作一相對(duì)直線OE部分斜率減少5%的直線來確定裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展載荷F_Q，直線與F-V曲線的交點(diǎn)為F₅，如果在F₅之前沒有比F₅大的高峰載荷，則F_Q=F₅（圖7-5曲線Ⅰ）；如果在F₅之前有一個(gè)高峰載荷，則取這個(gè)高峰載荷為F_Q（圖7-5曲線Ⅱ和曲線Ⅲ）。

2.測(cè)定裂紋長(zhǎng)度a

與臨界載荷F_Q對(duì)應(yīng)的裂紋長(zhǎng)度a_Q，計(jì)算時(shí)可取初始裂紋長(zhǎng)度a，直接從斷后試樣上量出。試樣斷裂后，可觀察到裂紋長(zhǎng)度沿厚度B方向呈弧狀形，如圖7-6所示。

為了能利用前述應(yīng)力強(qiáng)度因子公式（公式中的a是對(duì)應(yīng)著平直前緣裂紋的長(zhǎng)度）計(jì)算試樣的K_ⅠC，需要確定與試樣的實(shí)際前緣裂紋相等效的平直前緣裂紋長(zhǎng)度a?？扇〉刃街鼻熬壛鸭y長(zhǎng)度：

巖石斷裂與損傷

圖7-6 裂紋前緣長(zhǎng)度

式中：a₂、a₃、a₄分別為沿厚度方向B/4、B/2、3B/4處的裂紋長(zhǎng)度。

3.計(jì)算條件斷裂韌性K_Q并判斷其有效性

將F_Q、a代入K_Ⅰ表達(dá)式中進(jìn)行計(jì)算，得到的K_Ⅰ稱為“條件斷裂韌度”，記為K_Q。至于K_Q是否為該材料的K_ⅠC，需檢查下面兩個(gè)條件：

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若兩個(gè)條件均滿足，則所求得的K_Q即為材料的平面應(yīng)變斷裂韌度K_ⅠC。否則試驗(yàn)結(jié)果無效，須加大尺寸重新測(cè)試（一般取1.5倍大試樣），直到兩個(gè)條件均滿足。

4.試驗(yàn)報(bào)告

一般的試驗(yàn)報(bào)告要求具有下述內(nèi)容：

試樣編號(hào)、類型、裂紋面取向；材料的原始狀態(tài)和屈服強(qiáng)度；試樣厚度B、寬度W等；預(yù)制疲勞裂紋的條件；裂紋長(zhǎng)度值a₂、a₃、a₄；試驗(yàn)溫度、相對(duì)濕度、用K_Ⅰ表示的加載速率；P-V曲線及有關(guān)計(jì)算；斷口外貌特征；K_ⅠC的有效性條件或K_Q不能作為K_ⅠC的原因。

塑料拉伸模量和彎曲模量有什么區(qū)別？

1、定義不同

拉伸模量即拉伸的應(yīng)力與拉伸所產(chǎn)生的形變之比；彎曲模量即彎曲應(yīng)力與彎曲所產(chǎn)生的形變之比。

2、計(jì)算公式不同

拉伸模量（Tensile Modulus）計(jì)算公式如下：拉伸模量 (N/(m×m)) = f/S(N/(m×m))；

彎曲模量為σf2－σf1/εf2-εf1，單位MPa。

3、性質(zhì)不同

拉伸模量（Tensile Modulus）是指材料在拉伸時(shí)的彈性。其值為將材料沿中心軸方向拉伸單位長(zhǎng)度所需的力與其橫截面積的比。

彎曲模量又稱撓曲模量。是指彎曲應(yīng)力比上彎曲產(chǎn)生的應(yīng)變。材料在彈性極限內(nèi)抵抗彎曲變形的能力。E為彎曲模量；L、b、d分別為試樣的支撐跨度、寬度和厚度；m為載荷(P)-撓度(δ)曲線上直線段的斜率，單位為N/m2或Pa。

參考資料來源：百度百科-彎曲模量

參考資料來源：百度百科-拉伸模量

應(yīng)力強(qiáng)度因子的確定

對(duì)于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂紋尖端區(qū)域，應(yīng)力分量可統(tǒng)一寫成式（2-20）的形式：

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式中：f_ij（θ）為極角θ的分布函數(shù)，稱為角分布函數(shù)；K_m表征了裂紋尖端附近區(qū)域應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)弱程度，其中m=Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ得到K_Ⅰ、K_Ⅱ、K_Ⅲ，分別代表Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的強(qiáng)弱程度，稱為應(yīng)力強(qiáng)度因子（K因子），定義如下：

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式中自變量ξ如圖2-4所示。

若已知應(yīng)力場(chǎng)，則可用式（2-22）求應(yīng)力強(qiáng)度因子：

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圖2-4 裂紋尖端附近坐標(biāo)

K的量綱為：［力］［長(zhǎng)度］^-3/2；SI：N·m^-3/2（10^-6MPa·m^1/2）。應(yīng)力強(qiáng)度因子的確定方法有解析法、數(shù)值法、實(shí)測(cè)法等，本節(jié)分別介紹應(yīng)力強(qiáng)度因子的確定方法。

一、解析法

解析法又可分為復(fù)變函數(shù)法與積分變換法，復(fù)變函數(shù)法可利用Westergaard應(yīng)力函數(shù)或Muskhelishvili法，主要解決二維問題。積分變換法可求解二維、三維問題。由于工程上受力構(gòu)件的邊界形狀和邊界條件都很復(fù)雜，所以求解偏微分方程組時(shí)邊界條件很難精確滿足，因此解析法只適用于物體幾何形狀比較簡(jiǎn)單、邊界條件容易滿足的問題。下面僅介紹常用的復(fù)變函數(shù)法。

考慮無限大平板受二向均勻拉應(yīng)力，具有長(zhǎng)度為2a的中心貫穿裂紋，由定義：

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取

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滿足問題的全部邊界條件，代入上式可得

巖石斷裂與損傷

下面利用這種方法求解幾個(gè)常見問題的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

1.圖2-5所示“無限大”平板中具有長(zhǎng)度為2a的穿透板厚的裂紋，裂紋表面上x=±b處各作用一對(duì)單位厚度的集中力P

由式（2-7）→∞，σ_x=σ_y=τ_xy=0。

圖2-5“無限大”平板裂紋面上作用兩對(duì)集中力

選取復(fù)變解析函數(shù)：

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邊界條件：

a.b.處，裂紋為自由表面，σ_y=τ_xy=0。

c.如切出xy坐標(biāo)系內(nèi)的第一象限的薄平板，在x軸所在截面上內(nèi)力總和為P。

經(jīng)檢驗(yàn)，解析函數(shù)Z滿足三個(gè)邊界條件。將z=ξ+a代入復(fù)變解析函數(shù)中，得

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2.如圖2-6所示，具有長(zhǎng)度為2a的中心貫穿裂紋的無限大平板，距離x=b處作用一對(duì)單位厚度的集中力P

選取復(fù)變解析函數(shù)：

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3.如圖2-7所示，具有長(zhǎng)度為2a的中心貫穿裂紋的無限大平板，距離x=±b范圍內(nèi)的裂紋面受均布荷載，集度為q

圖2-6“無限大”平板裂紋面上作用一對(duì)集中力

圖2-7“無限大”平板裂紋面上作用部分均布荷載

利用疊加原理，根據(jù)圖2-5的結(jié)果可得

巖石斷裂與損傷

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當(dāng)整個(gè)表面受均布載荷時(shí)，如圖2-8所示，b→a，則

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4.如圖2-9所示，受二向均布拉力作用的無限大平板，在x軸上有一系列長(zhǎng)度為2a，裂紋中心間距為2b的裂紋

圖2-8“無限大”平板裂紋面上作用均布荷載

圖2-9 二向均布拉力作用的具有系列裂紋的無限大平板

邊界條件是周期的：

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在所有裂紋內(nèi)部應(yīng)力為零。即：y=0，，-a±2b＜x＜a±2b，σ_y=τ_xy=0。

所有裂紋前端σ_y＞σ。

單個(gè)裂紋時(shí)：

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又Z應(yīng)為2b的周期函數(shù)，故

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引入變量ξ=z-a，得

巖石斷裂與損傷

當(dāng)ξ→0時(shí)，，

巖石斷裂與損傷

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，稱為修正系數(shù)，大于1，表示其他裂紋存在對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。若裂紋間距離比裂紋本身尺寸大很多（b≥5a），可不考慮相互作用，按單個(gè)裂紋計(jì)算。

對(duì)于寬度為W含中心裂紋的有限寬板受均勻拉力，應(yīng)力強(qiáng)度因子修正系數(shù)也可按上述值近似計(jì)算，此時(shí)用W代替2b：

圖2-10 受剪切作用的具有周期性裂紋的無限大平板

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5.無限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂紋問題應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算

Ⅱ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的普遍表達(dá)形式（無限大板）：

巖石斷裂與損傷

對(duì)于無限大平板中的周期性的裂紋，如圖2-10所示，且在無限遠(yuǎn)的邊界上作用處于平板面內(nèi)的純剪切力作用。

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引入變量：ξ=z-a，得

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同理，對(duì)于無限大板Ⅲ型周期性裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子：

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6.深埋裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算

深埋裂紋的計(jì)算模型是無限大體中的片狀裂紋，1950年，Green和Sneddon分析了彈性物體的深埋橢圓形裂紋鄰域內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變，如圖2-11所示，得到橢圓表面上任意點(diǎn)，沿y方向的張開位移為

圖2-11 深埋橢圓片狀裂紋

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其中：Γ為第二類橢圓積分。有

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1962年，Irwin利用上述結(jié)果計(jì)算了這種情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子：

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在橢圓的短軸方向上，即，有

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此式為橢圓片狀深埋裂紋危險(xiǎn)部位的應(yīng)力強(qiáng)度因子。當(dāng)a?c時(shí)，有

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當(dāng)a=c時(shí)，為圓片狀裂紋，此時(shí)

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7.半橢圓表面裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算

工程上更多地遇到的是表面裂紋，常按照表面半橢圓裂紋考慮，但至今未得到嚴(yán)格的解析解，一般根據(jù)無限大體中橢圓片狀裂紋的解經(jīng)過修正近似處理。

（1）表面淺裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子：當(dāng)a?B（板厚）可簡(jiǎn)化為淺裂紋，這時(shí)可以忽略后自由表面對(duì)N點(diǎn)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，如圖2-12所示，近似得到N處的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

圖2-12 表面橢圓片狀裂紋

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（2）表面深裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子：對(duì)于表面深裂紋，引入前后兩個(gè)自由表面，使裂紋尖端的彈性約束減少，裂紋容易擴(kuò)展增大。應(yīng)力強(qiáng)度因子由下式確定。

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其中：M₁為前自由表面的修正系數(shù)；M₂為后自由表面的修正系數(shù)。

Paris和Sih給出的修正系數(shù)為

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式中：B為板厚；a為裂紋深度；c為裂紋長(zhǎng)度。當(dāng)a/c→0時(shí)，接近于單邊切口試樣，M₁=1.12。當(dāng)a/c→1時(shí)，接近于半圓形的表面裂紋，M₁=1。

當(dāng)a?B時(shí)，M₂≈1，即淺裂紋不考慮后自由表面的影響。對(duì)于一般工程問題，表面裂紋最深點(diǎn)處的應(yīng)力強(qiáng)度因子為

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二、數(shù)值解法

解析法適用于無限大平板中簡(jiǎn)單裂紋的情況，對(duì)實(shí)際構(gòu)件及各種試樣，當(dāng)裂紋尺寸與構(gòu)件或試樣其他特征尺寸相比并不是很小時(shí)，應(yīng)考慮自由邊界對(duì)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。對(duì)這類問題很難獲得嚴(yán)格的解析解，常用數(shù)值方法求其近似解。常用的數(shù)值方法有邊界配置（位）法、有限單元法、邊界元法。這些方法都是通過數(shù)值分析求出裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)或位移場(chǎng)的近似表達(dá)式，由定義建立應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式。

1.邊界配置法

邊界配置法是將應(yīng)力函數(shù)用無窮級(jí)數(shù)表達(dá)，使其滿足雙調(diào)和方程和邊界條件，但不是滿足所有的邊界條件，而是在有限寬板的邊界上，選足夠多的點(diǎn)，用以確定應(yīng)力函數(shù)，然后再由符合邊界條件的應(yīng)力函數(shù)確定K_Ⅰ值。

邊界配置法主要用于計(jì)算平面問題的單邊裂紋問題，且只限于討論直邊界問題。下面以圖2-13所示的三點(diǎn)彎曲試樣為例進(jìn)行說明。1957年Williams提出一用無窮級(jí)數(shù)表示的應(yīng)力函數(shù)，稱為Williams應(yīng)力函數(shù)：

圖2-13 三點(diǎn)彎曲試樣

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該函數(shù)滿足雙調(diào)和方程：▽⁴ψ（r，θ）=0。

邊界條件：裂紋左、右表面（θ=±π/2），σ_y和τ_xy均為零，上式滿足。

在外邊界上的邊界條件的滿足如下確定：在有限寬板的邊界上選取足夠的點(diǎn)，如圖2-13所示，使這些點(diǎn)的邊界條件滿足，則可求出C_j。

為了計(jì)算方便引入量綱為一的量：

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其中：B為試件厚度；W為試件高度。

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對(duì)于Ⅰ型裂紋：

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在裂紋尖端附近，θ=0，r→0。

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又因?yàn)楫?dāng)θ=0時(shí)，cosθ=1，當(dāng)j=1時(shí)與r無關(guān)，而當(dāng)j=2，3，4，…，∞時(shí)與r有關(guān)，當(dāng)r→0時(shí)都為零。

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利用邊界條件確定D₁，取含裂紋三點(diǎn)彎曲試樣的左半段為研究對(duì)象，取m個(gè)點(diǎn)分析，以2m有限級(jí)數(shù)代替無限級(jí)數(shù)精度足夠。

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其中S=4W為標(biāo)準(zhǔn)試件，式（2-41）、式（2-42）為美國(guó)ASTM-E399-72規(guī)范建議的公式。

2.確定應(yīng)力強(qiáng)度因子的有限元法

有限單元法以變分原理為理論基礎(chǔ)，將連續(xù)體離散成有限單元來分析其變形和應(yīng)力，然后進(jìn)行整體分析求得受力物體的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。有限單元法能解決復(fù)雜幾何形狀和載荷情況比較復(fù)雜的裂紋體的應(yīng)力強(qiáng)度因子。比較成熟的是奇異單元的應(yīng)用。不同裂紋體在不同的開裂方式的應(yīng)力強(qiáng)度因子是不同的。一些實(shí)驗(yàn)方法、解析方法都有各自的局限性，而有限元等數(shù)值解法十分有效地求解彈塑性體的應(yīng)力和位移場(chǎng)，而應(yīng)力和位移場(chǎng)與K密切相關(guān)，所以，可以通過有限元方法進(jìn)行應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算。

利用位移法求應(yīng)力強(qiáng)度因子，如Ⅰ型裂紋：

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式中。

通過有限元法求出裂紋尖端附近的位移場(chǎng)，計(jì)算（r，π），然后外推到裂紋尖端，這種方法為外推法。

也可利用應(yīng)力法求應(yīng)力強(qiáng)度因子，這時(shí)先求應(yīng)力場(chǎng)：，然后求當(dāng)θ=0時(shí)的應(yīng)力分量，即。

三、實(shí)測(cè)法

由于實(shí)際問題的多樣性和復(fù)雜性，計(jì)算比較困難，特別是三維問題。對(duì)于彈塑性斷裂問題、動(dòng)態(tài)斷裂問題常應(yīng)用具有直觀性和模擬性的實(shí)測(cè)法。常用的實(shí)則方法有柔度法、網(wǎng)絡(luò)法、光彈性法、激光全息法、激光散斑法、云紋法等。其中光彈性法求裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的基本原理如下：

對(duì)于Ⅰ型裂紋，如已求得σ_x、σ_y、τ_xy，則可求出最大切應(yīng)力，根據(jù)光彈性原理有

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式中：n為光彈性模型的條紋級(jí)數(shù)；f為材料的條紋值；d為試樣厚度。將σ_x、σ_y、τ_xy代入上式得：

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由光彈性實(shí)驗(yàn)等差線和等傾線條紋圖測(cè)出r_i、θ_i、n_i，求得，得出曲線，外推至r→0處有

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四、疊加原理及其應(yīng)用

1.K_Ⅰ的疊加原理及其應(yīng)用

線彈性疊加原理：當(dāng)n個(gè)載荷同時(shí)作用于某一彈性體上時(shí)，載荷組在某一點(diǎn)上引起的應(yīng)力和位移等于單個(gè)載荷在該點(diǎn)引起的應(yīng)力和位移分量之總和。疊加原理適用于K_Ⅰ。

證明：

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設(shè)在F₁載荷作用下，有

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設(shè)在F₂載荷作用下，有

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由疊加原理有

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因此，計(jì)算復(fù)雜載荷下應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法：將復(fù)雜載荷分解成簡(jiǎn)單載荷，簡(jiǎn)單載荷作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子可利用前述方法或查K_Ⅰ手冊(cè)。

下面利用疊加原理求圖2-14（a）所示鉚釘孔邊雙耳裂紋的K_Ⅰ值。首先將圖（a）分解為圖（b）+圖（c）-圖（d）。

圖2-14 鉚釘孔邊雙耳裂紋的疊加原理計(jì)算

根據(jù)疊加原理：，因?yàn)椋裕?/p>

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其中可查應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)。

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式中：D為圓孔直徑；W為板寬度；a為雙耳裂紋長(zhǎng)度。

確定：

無限板寬中心貫穿裂紋受集中力P作用時(shí)：

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考慮有效裂紋長(zhǎng)度：得

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有限板寬的修正系數(shù)：

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所以

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2.應(yīng)力場(chǎng)疊加原理及其應(yīng)用

應(yīng)力場(chǎng)疊加原理：在復(fù)雜的外界約束作用下，裂紋前端的應(yīng)力強(qiáng)度因子等于沒有外界約束，但在裂紋表面上反向作用著無裂紋時(shí)外界約束在裂紋處產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力所致的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

如圖2-15（a）所示為具有中心穿透裂紋的平板，在上下邊界受均勻拉應(yīng)力作用，將其分解為圖（b）和圖（c），圖（b）為除板邊力以外，在裂紋面上還作用一組反力，使裂紋恢復(fù)原狀，從而相當(dāng)于裂紋不存在。因此圖（b）問題是一般的彈性力學(xué)問題。它的解在研究裂紋尖端的應(yīng)力奇異性時(shí)是可以不予考慮的。圖（c）代表的問題是裂紋表面受應(yīng)力作用而板邊不受力的問題。

圖2-15 應(yīng)力場(chǎng)疊加原理的應(yīng)用

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在裂紋端部問題的意義上，圖（a）等價(jià)于圖（c）。因此可用無裂紋構(gòu)件中裂紋位置處由于外力作用所引起的應(yīng)力——“當(dāng)?shù)貞?yīng)力”求解各種受力情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

對(duì)于Ⅱ型和Ⅲ型裂紋，如圖2-16所示，也可將在無窮遠(yuǎn)處（板的邊緣）受載荷作用而裂紋表面應(yīng)力自由的裂紋問題（問題A），轉(zhuǎn)化為問題B與C的疊加。問題B相當(dāng)于除板邊力以外，在裂紋面上還作用一組反力，使裂紋恢復(fù)原狀，從而相當(dāng)于裂紋不存在。問題C是裂紋表面受應(yīng)力作用而板邊不受力的問題。因此在裂紋端部問題的意義上，問題A等價(jià)于問題C。

圖2-16 疊加原理的應(yīng)用

對(duì)于問題C三種型式的裂紋的解有共同的表達(dá)式，裂紋面上的邊界條件為

Ⅰ型裂紋：

Ⅱ型裂紋：

Ⅲ型裂紋：

應(yīng)力函數(shù)Z：

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應(yīng)力強(qiáng)度因子K：

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問題C在地學(xué)中具有實(shí)際意義。在斷層問題中，依據(jù)位移測(cè)量和地震波反演，可以推測(cè)斷層面上的應(yīng)力場(chǎng)，而遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力狀態(tài)至今還沒有得到可靠數(shù)據(jù)。因此，由應(yīng)力場(chǎng)可以推斷出斷層應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)的變化量，研究斷層的動(dòng)力過程。

計(jì)算各種裂紋體的應(yīng)力強(qiáng)度因子是線彈性斷裂力學(xué)中一項(xiàng)十分重要的任務(wù)。各種受力情況及不同裂紋位置的應(yīng)力強(qiáng)度因子資料已編輯成手冊(cè)。在中國(guó)航空研究院主編的《應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)》中可查到大部分應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)據(jù)，一般斷裂力學(xué)教材中也附有常用應(yīng)力強(qiáng)度表達(dá)式，故在此不再詳述。