證明題：若f(x)在[0，π] 上可導(dǎo)，證明存在ξ，滿足等式？

F(x)=f(x)(sinx)^2; F'(x)=f'(x)(sinx)^2+f(x)(2sinxcosx); 由條件易知，F(xiàn)(x)在[0,π]上連續(xù)，（0，π）上可導(dǎo)，于是： 存在ξ∈(0,π),使得f'(ξ)sinξsinξ+2f(ξ)cosξsinξ=0; sinξ不為零，則： 存在ξ∈(0,π),使得f'(ξ)sinξ+2f(ξ)cosξ=0。 這個題不是很難，可能你對中值定理這塊的導(dǎo)函數(shù)變形不是很熟悉，再看看吧。稍微刷刷題效果可能比較好。

證明:若f(x)在x.的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)當(dāng)h充分小時,f(x.)<1/2[f(x.+h)+f(x.-h)]恒成立,試證f''(x.)>=0

假設(shè)f``(x)<0,則f`(x)在x的這個領(lǐng)域內(nèi)單調(diào)減少不妨設(shè)x>0,h>0(若x<0,取h<0) f(x+h)-f(x)=f`(a)x a屬于(x,x+h) f(x)-f(x-h)=f`(b)x b∈(x-h,x) 兩式相減有f(x+h)+f(x-h)-2f(x)=[f`(a)-f`(b)]x<0(根據(jù)f`(x)的單調(diào)性f`(a)=0

證明：若函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)滿足等式f'(x)=f(x)且f(0)=1，則f(x)=e∧x

設(shè)g(x)=e^(-x)·f(x)

則g'(x)≡0

∴ g(x)=C

又g(0)=f(0)=1

∴ C=1

于是，g(x)≡1

∴ f(x)=e^x

證明：若函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)滿足f’（x）=f（x）

令 g(x) = e^(-x) f(x) 則 g'(x) = e^(-x) ( f'(x)-f(x) ) =0 這說明 g(x) = e^(-x) f(x) = C 為常數(shù)函數(shù) 而 g(x) = f(0) =1 =C 所以 g(x) = e^(-x) f(x)=1 即 f(x)=e^x 如果你學(xué)過微分方程，直接解方程也可以得到答案。

證明f（x）

f((x1+x2)/2) =a(x1/2+x2/2)+b =ax1/2+b/2+ax2/2+b/2 =(f(x1)+f(x2))/2 g((x1+x2)/2)-(g(x1)+g(x2))/2 =( (x1+x2)^2/4+a(x1+x2)/2+b )-(x1^2+ax1+b)/2-(x2^2+ax2+b)/2 =1/4( x1^2+x2^2+2x1x2-2x1^2-2x2^2) =-1/4(x1^2-2x1x2+x2^2) =-1/4(x1-x2)^2<=0 所以g【（x1+x2）/2】<=【g（x1）+g（x2）】/2 當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2的時候等號成立