二元函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處可微的一個充分條件是

D、lim【f′x (x,0)-f′x(0,0)】=0 （x→0)，且lim【f′y（0,y)-f′y(0,0)】=0 (y→0)

二元函數(shù)可微的充分條件是：若偏導存在某鄰域內(nèi)存在，且偏導在該點連續(xù)，則函數(shù)在該點處可微。

與自變量x、y的一對值（即二元有序?qū)崝?shù)組）（x，y）相對應的因變量z的值，也稱為f在點（x，y）處的函數(shù)值，記作f（x，y），即z=f（x，y）.函數(shù)值f（x，y）的全體所構(gòu)成的集合。

擴展資料：

若對于點M0，任意的δ>0都使Uδ（M0）中既有E之點，又有非E之點，即對任意δ>0，Uδ（M0）∩E≠?且Uδ（M0）?E，則稱M0為E之邊界點。

在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值。在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)必定在D上一致連續(xù)。

函數(shù)f（ x， y）在點（0，0）處可微嗎？

二階可微定義公式：Δy/Δx=lim(Δx->0)(f(0+Δx)-f(0))/Δx=A。

二元函數(shù)可微的定義是函數(shù)z=f（x，y）在點（x，y）的全增量Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）可以表示成Δz=AΔx+BΔy+o（ρ）。令x=y=0，則全增量Δz=f（Δx，Δy）-f（0，0），將符號Δx，Δy換成x，y來表示。

則該題中（x，y）→（0，0）時函數(shù)f（x，y）的Δz=f（x，y）-f（0，0）=-2x+y+o（ρ），符合定義的要求，所以f（x，y）在點（0，0）處可微。

必須注意

所謂二重極限存在，是指P（x，y）以任何方式趨于P0（x0，y0）時，f（x，y）都無限接近于A。因此，如果P（x，y）以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0（x0，y0）時，即使f（x，y）無限接近于某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)的極限存在。

但是反過來，如果當P（x，y）以不同方式趨于P0（x0，y0）時，f（x，y）趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。

設函數(shù)f(x，y)在點(0，0)的某鄰域內(nèi)有定義，且fx(0，0)=3，fy(0，0)=-1，則：

理由如下：

A：f(x,y)不一定可微。

B：曲面: z-f(x,y)=0 在(0,0)點上的法向量為(-f’x,-f’y,1)=(-3,1,1) 。

C：該曲線在點(0,0)處切向量為：

曲面：z-f(x,y)=0 在點(0,0)處法向量n=（-3,1,1)。

與曲面：y=0 在點（0,0)處法向量m=（0,1,0)的叉乘n??m=（1,0,3) 。

公理

鄰域公理是現(xiàn)代數(shù)學拓撲結(jié)構(gòu)的基礎概念，是定義拓撲的五套等價公理之一。這套公理直接定義了空間上的整套領域系，而非簡單定義某個點的鄰域。映射U即是將x映射至x鄰域組成的集合。

U1：若A是x的鄰域，則x屬于A。這是顯然的。

U2：若A和B都是x的鄰域，則A和B的交集也是x的鄰域。即鄰域?qū)τ谟邢藿贿\算封閉。

U3：若A是x的鄰域，則所有包含A的集合都是x的鄰域。

U4：若A是x的鄰域，則存在一個被A包含的集合B（可以相等），使得B是其中所有點的鄰域。換言之，若x有一個鄰域，那么一定可以將其縮小，縮小到它是其中所有點的鄰域。

設函數(shù)f(x,y)= 判斷函數(shù)f(x,y)在點(0,0)

作曲面F（x,y,z）=f（x,y）-z=0 則法向量n=（Fx,Fy,Fz）=（3,-1,-1） 所以切平面方程為3x-y-[z-f（0,0）]=0 再聯(lián)立y=0就是所求的切線方程了,此切線的任意方向向量即為所求.

若函數(shù)f（x，y）在點（0，0）不連續(xù)，但在點（0，0）處兩個偏導數(shù)都存在

y=kx代入：xy/(x^2+y^2)=k/(1+k^2) 故不連續(xù) f(x.0)-f(0,0)=0 f(0,y)-f(0,0)=0 故偏導數(shù)存在且都=0