怎樣判斷函奇偶性

一、單調(diào)性判斷法

1、若在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性是相反的，則該函數(shù)為偶函數(shù)。

2、若在整個(gè)定義域上的單調(diào)性一致，則該函數(shù)為奇函數(shù)。

二、復(fù)合函數(shù)判斷法

可將函數(shù)拆分為兩個(gè)函數(shù)，根據(jù)這兩個(gè)函數(shù)的特性判斷原函數(shù)的奇偶性：

1、 兩個(gè)偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù)。

2、 兩個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù)。

3、兩個(gè)偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù)。

4、 兩個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù)。

5、一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù)。

6、偶函數(shù)的和差積商是偶函數(shù)。

7、奇函數(shù)的和差是奇函數(shù)。

三、絕對(duì)值判斷法

1、奇函數(shù)的絕對(duì)值為偶函數(shù)。

2、偶函數(shù)的絕對(duì)值為偶函數(shù)。

擴(kuò)展資料

函數(shù)奇偶性中的奇偶數(shù)

若數(shù)字滿足xmod2=1，那么它是奇數(shù)。

若數(shù)字滿足xmod2=0，那么它是偶數(shù)。

例如：m=xmod2 ,x=7的話，m=1

參考資料來(lái)源：百度百科-奇偶性

判斷函數(shù)的奇偶性通常有哪些方法？

首先，判斷函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即滿足： 若x屬于定義域，那么 -x 也屬于定義域； 然后嘗試并證明 ，若對(duì)所有 x ，滿足 f(x)=f(-x)，那么該函數(shù)是偶函數(shù)； 若對(duì)所有 x ，滿足 f(x)=-f(-x) ,那么該函數(shù)是奇函數(shù)。

如何判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性？一共有幾種方法？

判斷函數(shù)奇偶性最好的方法

判定奇偶性四法：

（1）定義法

用定義來(lái)判斷函數(shù)奇偶性，是主要方法 . 首先求出函數(shù)的定義域，觀察驗(yàn)證是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 其次化簡(jiǎn)函數(shù)式，然后計(jì)算f(-x)，最后根據(jù)f(-x)與f(x)之間的關(guān)系，確定f(x)的奇偶性.

（2）用必要條件.

具有奇偶性函數(shù)的定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.

例如，函數(shù)y=的定義域(-∞，1)∪(1，+∞)，定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，所以這個(gè)函數(shù)不具有奇偶性.

（3）用對(duì)稱性.

若f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 f(x)是奇函數(shù).

若f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則 f(x)是偶函數(shù).

（4）用函數(shù)運(yùn)算.

如果f(x)、g(x)是定義在D上的奇函數(shù)，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函數(shù)，f(x)?g(x)是偶函數(shù). 簡(jiǎn)單地，“奇+奇=奇，奇×奇=偶”.

類(lèi)似地，“偶±偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇”.

擴(kuò)展資料：

奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間[a,b]和[-b，-a]上具有相同的單調(diào)性，即已知是奇函數(shù)，它在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間[-b，-a]上也是增函數(shù)（減函數(shù)）；偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間[a,b]和[-b，-a]上具有相反的單調(diào)性。

即已知是偶函數(shù)且在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間[-b，-a]上是減函數(shù)（增函數(shù)）。但由單調(diào)性不能倒導(dǎo)其奇偶性。驗(yàn)證奇偶性的前提要求函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

說(shuō)明：

①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)整個(gè)定義域而言。

②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)一定不具有奇偶性。

（分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗(yàn)其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再嚴(yán)格按照奇、偶性的定義經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)、整理、再與比較得出結(jié)論）

③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義。

④如果一個(gè)奇函數(shù)在x=0處有意義，則這個(gè)函數(shù)在x=0處的函數(shù)值一定為0。并且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

⑤如果函數(shù)定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或不符合奇函數(shù)、偶函數(shù)的條件則叫做非奇非偶函數(shù)。例如[]或[]（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

⑥如果函數(shù)既符合奇函數(shù)又符合偶函數(shù)，則叫做既奇又偶函數(shù)。例如

注：任意常函數(shù)（定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）均為偶函數(shù)，只有是既奇又偶函數(shù)

偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數(shù)。

奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函數(shù)。

定理奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖表，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形。

f(x)為奇函數(shù)《==》f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

點(diǎn)（x，y）→（-x，-y）

奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增。

偶函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)遞減。

性質(zhì)：

1、大部分偶函數(shù)沒(méi)有反函數(shù)（因?yàn)榇蟛糠峙己瘮?shù)在整個(gè)定義域內(nèi)非單調(diào)函數(shù)）。

2、偶函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同。

3、奇±奇=奇（可能為既奇又偶函數(shù)） 偶±偶=偶（可能為既奇又偶函數(shù)） 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇（兩函數(shù)定義域要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）.

4、對(duì)于F（x）=f[g(x)]：

若g(x）是偶函數(shù)且f（x）是偶函數(shù)，則F[x]是偶函數(shù)。

若g(x) 是偶函數(shù)且f（x）是奇函數(shù)，則F[x]是偶函數(shù)。

若g(x）是奇函數(shù)且f(x）是奇函數(shù)，則F[x]是奇函數(shù)。

若g(x）是奇函數(shù)且f(x）是偶函數(shù)，則F[x]是偶函數(shù)。

5、奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

參考資料：百度百科-函數(shù)奇偶性

函數(shù)的奇偶性怎么判斷

判定奇偶性四法：

（1）定義法

用定義來(lái)判斷函數(shù)奇偶性，是主要方法 . 首先求出函數(shù)的定義域，觀察驗(yàn)證是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 其次化簡(jiǎn)函數(shù)式，然后計(jì)算f(-x)，最后根據(jù)f(-x)與f(x)之間的關(guān)系，確定f(x)的奇偶性.

（2）用必要條件.

具有奇偶性函數(shù)的定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.

例如，函數(shù)y=的定義域(-∞，1)∪(1，+∞)，定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，所以這個(gè)函數(shù)不具有奇偶性.

（3）用對(duì)稱性.

若f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 f(x)是奇函數(shù).

若f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則 f(x)是偶函數(shù).

（4）用函數(shù)運(yùn)算.

如果f(x)、g(x)是定義在D上的奇函數(shù)，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函數(shù)，f(x)?g(x)是偶函數(shù). 簡(jiǎn)單地，“奇+奇=奇，奇×奇=偶”.

類(lèi)似地，“偶±偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇”.

擴(kuò)展資料：

奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間[a,b]和[-b，-a]上具有相同的單調(diào)性，即已知是奇函數(shù)，它在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間[-b，-a]上也是增函數(shù)（減函數(shù)）；偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間[a,b]和[-b，-a]上具有相反的單調(diào)性。

即已知是偶函數(shù)且在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間[-b，-a]上是減函數(shù)（增函數(shù)）。但由單調(diào)性不能倒導(dǎo)其奇偶性。驗(yàn)證奇偶性的前提要求函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

說(shuō)明：

①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)整個(gè)定義域而言。

②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)一定不具有奇偶性。

（分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗(yàn)其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再嚴(yán)格按照奇、偶性的定義經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)、整理、再與比較得出結(jié)論）

③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義。

④如果一個(gè)奇函數(shù)在x=0處有意義，則這個(gè)函數(shù)在x=0處的函數(shù)值一定為0。并且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

⑤如果函數(shù)定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或不符合奇函數(shù)、偶函數(shù)的條件則叫做非奇非偶函數(shù)。例如[]或[]（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

⑥如果函數(shù)既符合奇函數(shù)又符合偶函數(shù)，則叫做既奇又偶函數(shù)。例如

注：任意常函數(shù)（定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）均為偶函數(shù)，只有是既奇又偶函數(shù)

偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數(shù)。

奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函數(shù)。

定理奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖表，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形。

f(x)為奇函數(shù)《==》f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

點(diǎn)（x，y）→（-x，-y）

奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增。

偶函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)遞減。

性質(zhì)：

1、大部分偶函數(shù)沒(méi)有反函數(shù)（因?yàn)榇蟛糠峙己瘮?shù)在整個(gè)定義域內(nèi)非單調(diào)函數(shù)）。

2、偶函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同。

3、奇±奇=奇（可能為既奇又偶函數(shù)） 偶±偶=偶（可能為既奇又偶函數(shù)） 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇（兩函數(shù)定義域要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）.

4、對(duì)于F（x）=f[g(x)]：

若g(x）是偶函數(shù)且f（x）是偶函數(shù)，則F[x]是偶函數(shù)。

若g(x) 是偶函數(shù)且f（x）是奇函數(shù)，則F[x]是偶函數(shù)。

若g(x）是奇函數(shù)且f(x）是奇函數(shù)，則F[x]是奇函數(shù)。

若g(x）是奇函數(shù)且f(x）是偶函數(shù)，則F[x]是偶函數(shù)。

5、奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

參考資料：百度百科-函數(shù)奇偶性