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如圖，在○O中，直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)G，E為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE交○O于點(diǎn)F

教育綜合
2022-10-24 07:56:20

如圖,圓o中,直徑ab垂直cd,e為dc延長(zhǎng)線上一點(diǎn),be交圓o于f,求證:角efc=bfd

證明：

連接AF

∵AB是⊙O的直徑

∴∠AFB=90°=∠AFE

∵AB⊥CD

∴弧AC=弧AD（垂徑定理：垂直弦的直徑平分弦，及弦所對(duì)的兩條?。?/p>

∴∠AFC=∠AFD（等弧對(duì)等角）

∴∠AFE-∠AFC=∠AFB-∠AFD

即∠EFC=∠BFD

如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，F(xiàn)為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AF交⊙O于點(diǎn)G．求證：AC 2 =AG?AF

%20%20%20AC%20%20%20%20%20%20

證明：連接AD、CG，如圖

%20%20
∵直徑AB⊥CD，
∴弧AD=弧AC，
∴∠ADC=∠ACF，
∵∠AGC=∠ADC，
∴∠ACF=∠AGC
而∠FAC=∠CAG，
∴△ACG%20∽%20△AFC，
∴%20%20

%20AG

%20=%20%20%20%20AF%20%20%20%20AC%20%20%20%20%20，
∴AC^%202%20=AG?AF．%20%20%20

如圖,在圓O中,半徑OB⊥弦CD于H,E為OB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),CE交圓O于F

(1)證明：連結(jié)BD。%20因?yàn)?20半徑OB垂直于弦CD于H，%20所以%20弧BC=弧BD%20所以%20角BOD=2角BDC（在同圓中，等弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍）%20又因?yàn)?20角BFE=角BDC（圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角）%20所以%20角BOD=2角BFE。%20（2）解：設(shè)BF垂直于DE的垂足為G。%20因?yàn)?20OB垂直于CD于H%20所以%20角EGB=角EHD，DH=CH=CD/2=3，%20又因?yàn)?20角BEG=角DEH，%20所以%20三角形BEG相似于三角形DEH，%20所以%20BE/DE=BG/DH，%20所以%20BG*DE=BE*DH=15

已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，F(xiàn)是DC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，F(xiàn)A、FB與⊙O分別交于M、G，GE與⊙O交于N．（1）

解答：（1）證明：連接AG，則∠AGF=∠AEF=90°，
∴AF的中點(diǎn)到A、E、G、F四點(diǎn)的距離相等，即A、E、G、F四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．
∴弦FG所對(duì)的圓周角∠FAG=∠FEG．
∵∠BAG+∠ABG=∠BFE+∠FBE=90°，
∴∠BAG=∠BFE．
∵∠BGN=∠BFE+∠FEG，而∠BAM=∠FAG+∠BAG，
∴∠MAB=∠NGB．
∵∠NGB=∠NAB，
∴∠MAB=∠NAB．
∴AB平分∠MAN．

（2）解：連接OC、BM，
∵OC=5，CE=3，
∴在Rt△OEC中得OE=4．
∴AE=9．
在Rt△AEF，EF=6，
∴AF=3

．
∵AB=10，由Rt△ABM∽R(shí)t△AFE得

，
∴AM=

AB?AE

．
∵AB平分∠MAN，
∴AN=AM=

．

已知AB是圓o的直徑，弦CD⊥AB于E，F(xiàn)是DC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，F(xiàn)A、FB與圓O分別交于M、G，GE與圓O交于N

（1）連接AG，則∠AGF=∠AEF=90°， ∴AF的中點(diǎn)到A、E、G、F四點(diǎn)的距離相等，即A、E、G、F四點(diǎn)在同一個(gè)圓上． ∴弦FG所對(duì)的圓周角∠FAG=∠FEG．同理∠EAG=∠EFG ∵∠BGN=∠BFE+∠FEG，而∠MAB=∠FAG+∠BAG， ∴∠MAB=∠NGB． ∵弧BN=弧BN ∴∠NGB=∠NAB， ∴∠MAB=∠NAB． ∴AB平分∠MAN．（2）連接OC、BM， ∵OC=5，CE=3， ∴在Rt△OEC中得OE=4． ∴AE=9．在Rt△AEF，EF=6， ∴AF=3√13 ∵AB=10，又∵∠BAM=∠FAE，∠AMB=∠AEF ∴Rt△ABM∽R(shí)t△AFE

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