蝴蝶定理證明是什么？

蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：設(shè)M為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn)，過M作弦AB和CD。設(shè)AD和BC各相交PQ于點(diǎn)X和Y，則M是XY的中點(diǎn)。

去掉中點(diǎn)的條件，結(jié)論變?yōu)橐粋€(gè)一般關(guān)于有向線段的比例式，稱為“坎迪定理”，不為中點(diǎn)時(shí)滿足：1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,這對(duì)2，3均成立。

蝴蝶定理是古典歐式平面幾何的最精彩的結(jié)果之一。這個(gè)定理的證法不勝枚舉，至今仍然被數(shù)學(xué)熱愛者研究，在考試中時(shí)有出現(xiàn)各種變形。

發(fā)展歷史

這個(gè)命題最早作為一個(gè)征解問題出現(xiàn)于公元1815年英國(guó)的一本雜志《男士日記》（Gentleman's Diary）39-40頁(yè)（P39-40）上。有意思的是，直到1972年以前，人們的證明都并非初等，且十分繁瑣。

這篇文章登出的當(dāng)年，英國(guó)一個(gè)自學(xué)成才的中學(xué)數(shù)學(xué)教師W.G.霍納（他發(fā)明了多項(xiàng)式方程近似根的霍納法）給出了第一個(gè)證明，完全是初等的；另一個(gè)證明由理查德·泰勒（Richard Taylor）給出。

另外一種早期的證明由M.布蘭德（Mile Brand）1827年的一書中給出。最為簡(jiǎn)潔的證法是射影幾何的證法，由英國(guó)的J·開世在＂A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"給出，只有一句話，用的是線束的交比。

“蝴蝶定理”這個(gè)名稱最早出現(xiàn)于《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》1944年2月號(hào)，題目的圖形象一只蝴蝶。

1981年，Crux雜志刊登了K.薩蒂亞納拉亞納（Kesirajn Satyanarayana）用解析幾何的一種比較簡(jiǎn)單的方法，利用直線束，二次曲線束。

1990年，CMO出現(xiàn)了箏形蝴蝶定理。

蝴蝶定理最簡(jiǎn)單證明

蝴蝶定理最簡(jiǎn)單證明如下：

1、M作為圓內(nèi)弦的交點(diǎn)是不必要的，可以移到圓外。

2、圓可以改為任意圓錐曲線。

3、將圓變?yōu)橐粋€(gè)箏形，M為對(duì)角線交點(diǎn)。

4、去掉中點(diǎn)的條件，結(jié)論變?yōu)橐粋€(gè)一般關(guān)于有向線段的比例式，稱為“坎迪定理”， 不為中點(diǎn)時(shí)滿足。這對(duì)1，2均成立。

蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一。這個(gè)命題最早出現(xiàn)在1815年，由W.G.霍納提出證明。而“蝴蝶定理”這個(gè)名稱最早出現(xiàn)在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》1944年2月號(hào)，題目的圖形像一只蝴蝶。這個(gè)定理的證法不勝枚舉，仍然被數(shù)學(xué)愛好者研究，在考試中時(shí)有各種變形。

這個(gè)命題最早作為一個(gè)征解問題出現(xiàn)于公元1815年英國(guó)的一本雜志《男士日記》（Gentleman's Diary）39-40頁(yè)（P39-40）上。有意思的是，直到1972年以前，人們的證明都并非初等，且十分繁瑣。

這篇文章登出的當(dāng)年，英國(guó)一個(gè)自學(xué)成才的中學(xué)數(shù)學(xué)教師W.G.霍納（他發(fā)明了多項(xiàng)式方程近似根的霍納法）給出了第一個(gè)證明，完全是初等的；另一個(gè)證明由理查德·泰勒（Richard Taylor）給出。

另外一種早期的證明由M.布蘭德（Mile Brand）1827年的一書中給出。最為簡(jiǎn)潔的證法是射影幾何的證法，由英國(guó)的J開世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"給出，只有一句話，用的是線束的交比。

“蝴蝶定理”這個(gè)名稱最早出現(xiàn)于《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》1944年2月號(hào)，題目的圖形象一只蝴蝶。

蝴蝶定理證明是什么？

蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：設(shè)M為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn)，過M作弦AB和CD。設(shè)AD和BC各相交PQ于點(diǎn)X和Y，則M是XY的中點(diǎn)。

去掉中點(diǎn)的條件，結(jié)論變?yōu)橐粋€(gè)一般關(guān)于有向線段的比例式，稱為“坎迪定理”，不為中點(diǎn)時(shí)滿足：1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,這對(duì)2，3均成立。

簡(jiǎn)介

蝴蝶定理最先是作為一個(gè)征求證明的問題，刊載于1815年的一份通俗雜志《男士日記》上，由于其幾何圖形形象奇特，酷似蝴蝶，因此而得名。

歷史上出現(xiàn)過許多優(yōu)美奇特的解法，其中最早的應(yīng)首推霍納所給出的非初等的證法。至于初等數(shù)學(xué)的證法，在國(guó)外資料中，一般都認(rèn)為是由一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師斯特溫首先提出的，他給出的是面積法的證明。

蝴蝶模型基本公式是什么？

●蝴蝶模型

蝴蝶模型，是平面圖形中常用的五個(gè)模型之一，其特點(diǎn)是通過邊與面積的關(guān)系來解決問題。對(duì)于初學(xué)者來說，最重要的是理解什么是蝴蝶模型并熟記它的特征，蝴蝶模型分為任意四邊形和梯形中的蝶形。

一、蝴蝶模型的相關(guān)知識(shí)

1.定義：如圖，在任意凸四邊形ABCD中，AC、BD相較于點(diǎn)O，形成的圖形形似蝴蝶而被稱為蝴蝶模型。其中存在的比例關(guān)系被稱為蝴蝶定理。

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2.核心：比例模型又：

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二、蝴蝶模型的原理剖析

如圖，在任意凸四邊形ABCD中，AC，BD相交于O點(diǎn)，則有三角形AOD與三角形AOB有相同的高，所以S△AOB：S△AOD=OB：OD，即S1：S2=OB：OD。

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三、蝴蝶模型的方法運(yùn)用

蝴蝶模型解題四部曲：

第一步：觀察：圖中是否有蝴蝶模型

第二步：構(gòu)造：蝴蝶模型

第三步：假設(shè)：線段長(zhǎng)度或圖形面積

第四步：轉(zhuǎn)化：將假設(shè)的未知數(shù)轉(zhuǎn)化到已知比例中計(jì)算

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【例1】

如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對(duì)角線AC、BD分成四個(gè)部分，△AOB面積為1平方千米，△BOC面積為2平方千米，△COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6.92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？

【例2】

如圖所示，BD、CF將長(zhǎng)方形ABCD分成4塊，△DEF的面積是4平方厘米，△CED的面積是6平方厘米。問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？

蝴蝶定理是什么？

　　蝴蝶定理這個(gè)命題最早出現(xiàn)在1815年，而“蝴蝶定理”這個(gè)名稱最早出現(xiàn)在《美國(guó)數(shù)學(xué)刊》1944年2月號(hào)，由于其幾何圖形形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名。
　　蝴蝶定理（ButterflyTheorem）：設(shè)M為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn)，過M作弦AB和CD。設(shè)AD和BC各相交PQ于點(diǎn)X和Y，則M是XY的中點(diǎn)。
　　去掉中點(diǎn)的條件，結(jié)論變?yōu)橐粋€(gè)一般關(guān)于有向線段的比例式，稱為“坎迪定理”，不為中點(diǎn)時(shí)滿足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP,這對(duì)2，3均成立。



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