在△ABC中，AC=BC，∠C=90，點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是BC上的一點(diǎn)，沿著直線MN折疊，

如圖：BS平行AC，PT垂直CS，點(diǎn)P、S、B、T四點(diǎn)共圓，得角PTS=角PBS=45度，得三角形PST為等腰直角三角形，得PS=PT

對(duì)直角三角形MPN和三角形CPT，因?yàn)榻荕NP=角MNC=角CTP，所以兩三角形相似，得MP：NP=PC：PT，即MC：NC=PC：PS，

又因?yàn)锳C平行BC，得PC：PS=PA：PB，所以MC：NC=PA：PB

第二種證法，作PS垂直BC，在BC上取點(diǎn)T，使得PT=PN

對(duì)三角形AMP和三角形BTP，因?yàn)榻茿=角B，角BTP=180度- 角PTC=180度-PNB=180度-PMC=角AMP，所以兩三角形相似，得PM：PT=PA：PB，即MC：NC=PA：PB

如圖，在三角形ABC中，角C=90度，AC=BC，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，BC上的點(diǎn)

解：連接AD∵在三角形ABC中,角C=90度,AC=BC,點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB=1/2AB=1/2×2=1﹙㎝﹚，∠ACD＝∠BCD＝∠A=∠B=45° ∵AE＝CF ∴△ADE≌△CDF ∴四邊形CEDF的面積＝△ACD的面積=1/2×△ABC的面積=1/2×1/2×2×1=1/2﹙㎝2﹚ ∵AC=BC，AB=2㎝，∴AC＝BC=√2㎝﹙根據(jù)勾股定理﹚ ∵ AE=CF，AE:EC=1:3∴EC=3√2/4，CF＝√2/4 △CEF的面積=1/2×3√2/4×√2/4=3/16 △DEF的面積=四邊形CEDF的面積－△CEF的面積=1/2-3/16=5/16

三角形ABC是等腰直角三角形,角C=90°,點(diǎn)M,N分別是邊AC,BC中點(diǎn),點(diǎn)D在取線BM上且BD=

證明：假設(shè)等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為2a,則AC=BC=2a 點(diǎn)M,N分別是邊AC,BC中點(diǎn) BM=√5a(注：根號(hào)5×a) 過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F,交BD于G ∵∠C=90° ∴AC∥EF ∵EN=2NA ∴FN=2CN =2a EF=2AC=4a FB/BC=3/2 ∵CM∥FG ∴ FG/CM=BG/BM=FB/BC=3/2 ∴FG=3/2×a EG=5/2×a BG=3/2×√5×a DG=1/2×√5×a ∵EG:BG=(5/2×a):(3/2×√5×a)=√5:3 DG:FG=(1/2×√5×a):(3/2×a)=√5:3 ∴ EG:BG=DG:FG 又因?yàn)椤螪GE=∠FGB △EDG

如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)

⑴連接CD，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，

∵D為AB中點(diǎn)，∴AD=BD=CD，CD⊥AB，

∠DCA=∠DBC=45°，

在ΔDAE與ΔDCF中：

DA=DC，∠A=∠DCF=45°，AE=CF，

∴ΔDAE≌ΔDCF，

∴∠ADE=∠CDF，

∵∠ADE+∠CDE=90°，∴∠CDF+∠CDE=90°，

∴DE⊥DF。

⑵同樣成立。

DA=DC，∠DAE=∠DCF=135°，AE=CF，

∴ΔDAE≌ΔDCF，

∴∠ADE=∠CDF，

∵∠ADE+∠CDE=90°，∴∠CDF+∠CDE=90°，

∴DE⊥DF。

在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D為AB中點(diǎn),M,N分別在BC,AC上，且BM=CN求證DM=DN

證明：

連接CD

∵∠ACB=90°，AC=BC

∴∠A=∠B=45°

∵D是AB的中點(diǎn)

∴CD=BD（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）

∴∠DCB=∠B=45°

則∠DCN=90°-∠DCB=45°

∴∠DCN=∠B

又∵CN=BM，CD=BD

∴△DCN≌△DBM（SAS）

∴DM=DN