高斯分布和正態(tài)分布是什么？

高斯分布，也稱正態(tài)分布，又稱常態(tài)分布。

對(duì)于隨機(jī)變量X，其概率密度函數(shù)如圖所示。稱其分布為高斯分布或正態(tài)分布，記為N（μ，σ2），其中為分布的參數(shù)，分別為高斯分布的期望和方差。

當(dāng)有確定值時(shí)，p(x)也就確定了，特別當(dāng)μ=0，σ2=1時(shí)，X的分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。μ正態(tài)分布最早由棣莫佛于1730年在求二項(xiàng)分布的漸近公式時(shí)得到。

后拉普拉斯于1812年研究極限定理時(shí)也被引入；高斯（Gauss）則于1809年在研究誤差理論時(shí)也導(dǎo)出了它。高斯分布的函數(shù)圖象是一條位于x軸上方呈鐘形的曲線，稱為高斯分布曲線，簡(jiǎn)稱高斯曲線。

高斯分布的特征：

變量的頻數(shù)分布由μ、σ完全決定。

(1)μ是正態(tài)分布的位置參數(shù)，描述正態(tài)分布的集中趨勢(shì)位置。正態(tài)分布以X=μ為對(duì)稱軸，左右完全對(duì)稱。正態(tài)分布的均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同，均等于μ。

(2)σ描述正態(tài)分布資料數(shù)據(jù)分布的離散程度，σ越大，數(shù)據(jù)分布越分散，σ越小，數(shù)據(jù)分布越集中。也稱為是正態(tài)分布的形狀參數(shù)，σ越大，曲線越扁平，反之，σ越小，曲線越瘦高。

高斯分布的概率密度函數(shù)

高斯分布的概率密度函數(shù)是:均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ 高斯分布的概率分布函數(shù)。

概率函數(shù)：把事件概率表示成關(guān)于事件變量的函數(shù)。

概率分布函數(shù)：一個(gè)隨機(jī)變量ξ取值小于某一數(shù)值x的概率，這概率是x的函數(shù)，稱這種函數(shù)為隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)，記作F(x)，即F(x)=P(ξ

概率密度函數(shù)：概率密度等于變量在一個(gè)區(qū)間(事件的取值范圍)的總的概率除以該段區(qū)間的長(zhǎng)度。概率密度函數(shù)是一個(gè)描述隨機(jī)變量在某個(gè)確定的取值點(diǎn)附近的可能性的函數(shù)。

詳細(xì)講解一下這個(gè)公式

該公式是正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。

正態(tài)分布又名高斯分布，是一個(gè)非常常見(jiàn)的連續(xù)概率分布。正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)上十分重要，經(jīng)常用在自然和社會(huì)科學(xué)來(lái)代表一個(gè)不明的隨機(jī)變量。

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線呈鐘形，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線。

上圖是正態(tài)分布概率密度曲線的曲線圖。

高斯概率密度函數(shù)公式

高斯概率密度函數(shù)公式是由單變量正態(tài)分布、多元正態(tài)分布組成的。

單變量高斯分布：

單變量高斯分布概率密度函數(shù)定義為：

p(x)=12πσ√exp{12(xμσ)2}

式中μμ為隨機(jī)變量xx的期望，σ2σ2為xx的方差，σσ稱為標(biāo)準(zhǔn)差：

μ=E(x)=∫∞∞xp(x)dx、

σ2=∫∞∞(xμ)2p(x)dx，

可以看出，該概率分布函數(shù)，由期望和方差就能完全確定。高斯分布的樣本主要都集中在均值附近，且分散程度可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示，其越大，分散程度也越大，且約有95%的樣本落在區(qū)間(μ2σ,μ+2σ)。

多元高斯分布：

多元高斯分布的概率密度函數(shù)。多元高斯分布的概率密度函數(shù)定義：

p(x)=1(2π)d2|Σ|12exp{?12(x?μ)TΣ?1(x?μ)}

其中x=[x1,x2,...,xd]Tx=[x1,x2,...,xd]T是dd維的列向量；
μ=[μ1,μ2,...,μd]Tμ=[μ1,μ2,...,μd]T是dd維均值的列向量；
ΣΣ是d×dd×d維的協(xié)方差矩陣；
Σ?1Σ?1是ΣΣ的逆矩陣;
|Σ||Σ|是ΣΣ的行列式；
(x?μ)T(x?μ)T是(x?μ)(x?μ)的轉(zhuǎn)置，且

μ=E(x)

Σ=E{(x?μ)(x?μ)T}(2.3)(2.3)Σ=E{(x?μ)(x?μ)T}

其中μ,Σμ,Σ分別是向量xx和矩陣(x?μ)(x?μ)T(x?μ)(x?μ)T的期望，諾xixi是xx的第ii個(gè)分量，μiμi是μμ的第ii個(gè)分量，σ2ijσij2是∑∑的第i,ji,j個(gè)元素。則:

μi=E(xi)=∫∞?∞xip(xi)dxi

高斯分布的特征是什么?什么事極限誤差?誤差值通常取多少位?什么是真值的最佳值?

一、高斯分布具有以下三個(gè)特征：

1、集中性：正態(tài)曲線的高峰位于正中央，即均數(shù)所在的位置。

2、對(duì)稱性：正態(tài)曲線以均數(shù)為中心，左右對(duì)稱，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交。

3、均勻變動(dòng)性：正態(tài)曲線由均數(shù)所在處開(kāi)始，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻下降。

二、極限誤差，是指抽樣推斷中依一定概率保證下的誤差的最大范圍，所以也稱為允許誤差。估計(jì)量加上允許誤差形成置信區(qū)間的上限，估計(jì)量減去允許誤差形成置信區(qū)間的下限。極限誤差表現(xiàn)為某置信度的臨界值( 或稱概率度)乘以抽樣平均誤差。即：極限誤差= 臨界值x 抽樣平均誤差。

三、誤差值 通常取兩位，也可以只取一位。
誤差計(jì)算公式
標(biāo)稱誤差=（最大的絕對(duì)誤差）/量程 x 100%
絕對(duì)誤差 = | 示值 - 標(biāo)準(zhǔn)值 | （即測(cè)量值與真實(shí)值之差的絕對(duì)值）。
相對(duì)誤差 = | 示值 - 標(biāo)準(zhǔn)值 |/真實(shí)值 （即絕對(duì)誤差所占真實(shí)值的百分比）。
系統(tǒng)誤差：就是由量具，工具，夾具等所引起的誤差。
偶然誤差：就是由操作者的操作所引起的（或外界因素所引起的）偶然發(fā)生的誤差。

四、在一般計(jì)算中，真值的最佳估計(jì)值一般取算數(shù)平均值

拓展資料

正態(tài)分布（Normal distribution），也稱“常態(tài)分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二項(xiàng)分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測(cè)量誤差時(shí)從另一個(gè)角度導(dǎo)出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質(zhì)。是一個(gè)在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域都非常重要的概率分布，在統(tǒng)計(jì)學(xué)的許多方面有著重大的影響力。

正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對(duì)稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線。

參考資料：百度百科：高斯分布百度百科：極限誤差