設(shè)隨機(jī)變量(x,y)的概率密度為f(x,y)=e^-y

1、求隨機(jī)變量X的密度fX(x)，邊沿分布

fX(x)={e^(-y)；0

2、概率密度函數(shù)f(x，y)在直線x=0，y=x，y=-x+1所圍的三角形區(qū)域的二重度積分，結(jié)果是1+e^(-1)-2e^(-1/2)

3、條件分布，應(yīng)該寫成 fX(x|Y=y)而非fξ(x|η=y)，表示Y=y的條件分布，按題目意思，此處y理解為某一常數(shù)，則fX(x|Y=y)=f(x，y)/fY(y)=e^(-y)/ye^(-y)=1/y；fY(y)=ye^(-y)隨機(jī)變量Y的邊沿分布。

4、條件概率，似應(yīng)寫成P（X<2|Y<1)，也是積分計(jì)算：P（X<2|Y<1)，=P{X<2，Y<1}/P(Y<1)

P{X<2，Y<1}為f(x，y)在直權(quán)線x=2，y=1，y=x所圍區(qū)域積分，P(Y<1)為f(x，y)在直線y=x，y=1所圍區(qū)域積分，在本題情況，兩個(gè)區(qū)域的有效部分（即不為零部分）恰好相等，故積分值為1。概率意義是，隨機(jī)點(diǎn)分布區(qū)域?yàn)?

例如：

∵P(X>2丨Y<4)=P(X>2，Y<4)/P(Y<4)，內(nèi)∴分別求出P(X>2，Y<4)、P(Y<4)即可得。

而，P(X>2，Y<4)=∫(2，4)dy∫(2，y)f(x，y)dx=∫(2，4)(y-2)e^(-y)dy=-(y-1)e^(-y)丨(y=2，4)=e^(-2)-3e^(-4)。

對(duì)P(Y<4)，先求出Y的邊緣分布容的密度函數(shù)，由定義，fY(y)=∫(0，y)f(x，y)dx=ye^(-y)，y>0、fY(y)=0，y為其它。∴P(Y<4)=∫(0，4)fY(y)dy=∫(0，4)ye^(-y)dy=-(y+1)e^(-y)丨(y=0，4)=1-5e^(-4)。

擴(kuò)展資料：

按照隨機(jī)變量可能取得的值，可以把它們分為兩種基本類型：

1、離散型

離散型（discrete）隨機(jī)變量即在一定區(qū)間內(nèi)變量取值為有限個(gè)或可數(shù)個(gè)。例如某地區(qū)某年人口的出生數(shù)、死亡數(shù)，某藥治療某病病人的有效數(shù)、無效數(shù)等。離散型隨機(jī)變量通常依據(jù)概率質(zhì)量函數(shù)分類，主要分為：伯努利隨機(jī)變量、二項(xiàng)隨機(jī)變量、幾何隨機(jī)變量和泊松隨機(jī)變量。

2、連續(xù)型

連續(xù)型（continuous）隨機(jī)變量即在一定區(qū)間內(nèi)變量取值有無限個(gè)，或數(shù)值無法一一列舉出來。例如某地區(qū)男性健康成人的身長值、體重值，一批傳染性肝炎患者的血清轉(zhuǎn)氨酶測(cè)定值等。有幾個(gè)重要的連續(xù)隨機(jī)變量常常出現(xiàn)在概率論中，如：均勻隨機(jī)變量、指數(shù)隨機(jī)變量、伽馬隨機(jī)變量和正態(tài)隨機(jī)變量。

設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x,y）=｛c,0≤x≤2,0≤y≤2 0, 其他。 求常數(shù)C

c=0.25，在0≤x≤2，0≤y≤2 上f（x,y）的二重積分是1就可以求出來c=0.25。

在數(shù)學(xué)中，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)（在不至于混淆時(shí)可以簡稱為密度函數(shù)）是一個(gè)描述這個(gè)隨機(jī)變量的輸出值，在某個(gè)確定的取值點(diǎn)附近的可能性的函數(shù)。

而隨機(jī)變量的取值落在某個(gè)區(qū)域之內(nèi)的概率則為概率密度函數(shù)在這個(gè)區(qū)域上的積分。 當(dāng)概率密度函數(shù)存在的時(shí)候，累積分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分。

概率密度的生活例子：

回憶在學(xué)習(xí)概率論時(shí)的經(jīng)歷，隨機(jī)事件是第一個(gè)核心的概念，它定義為可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，因此是否發(fā)生具有隨機(jī)性。

例如，拋一枚硬幣，可能正面朝上，也可能反面朝上，正面朝上或者反面朝上都是隨機(jī)事件。擲骰子，1到6這6種點(diǎn)數(shù)都可能朝上，每種點(diǎn)數(shù)朝上，都是隨機(jī)事件。

設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為f（x，y）={x+y，0

Z=X+Y，Z=XY(0~1) (1/2)x dx
=1/4

e(x)=∫(0~2) 0.5x2dx

= 8/6

=4/3

e(x2)=∫(0~2) 0.5x3 dx

=16/8

=2

d(x)=2-16/9=2/9

擴(kuò)展資料：

在相同條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件。例如，從一批有正品和次品的商品中，隨意抽取一件，“抽得的是正品”就是一個(gè)隨機(jī)事件。

設(shè)對(duì)某一隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行了n次試驗(yàn)與觀察，其中A事件出現(xiàn)了m次，即其出現(xiàn)的頻率為m/n。經(jīng)過大量反復(fù)試驗(yàn)，常有m/n越來越接近于某個(gè)確定的常數(shù)（此論斷證明詳見伯努利大數(shù)定律）。該常數(shù)即為事件A出現(xiàn)的概率，常用P (A) 表示。

設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=(6-x-y)/8,0

設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=(6-x-y)/8,0

擴(kuò)展資料

二重積分與同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質(zhì)是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應(yīng)用，可以用來計(jì)算曲面的面積，平面薄片重心等。

平面區(qū)域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進(jìn)行積分，稱為曲面積分。

設(shè)隨機(jī)變量(x,y)的概率密度為f(x,y)=k(6-x-y)

∫∫f(x,y)dxdy=1,x：0→2；y：2→4.（這是一個(gè)矩形區(qū)域） 解得：8k=1,k=1/8. P{X+Y≤4﹜=∫∫1/8*(6-x-y)dxdy,x：0→2,y：2→（4-x）（這是一個(gè)直角三角形區(qū)域）. 解得：P{X+Y≤4﹜=1/8*(16/3)=2/3 【ps】你看看積分區(qū)間有沒有選對(duì),再看看有沒有算錯(cuò).