matlab我們采用阿基米德的正多邊形逼近法, 使得π的精度達(dá)到祖沖之的水平, 那么至少需要多少個(gè)
- 教育綜合
- 2023-10-06 17:44:28
圓周率是如何求到的？
.14，這是圓周率的近似值 。所以今天（3月14日）也被確定為圓周率日。今天，我們就來說說圓周率的傳奇吧。
圓可能是自然界中最常見的圖形了，人們很早就注意到，圓的周長與直徑之比是個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是圓周率，現(xiàn)在通常記為π，它是最重要的數(shù)學(xué)常數(shù)之一。
關(guān)于π最早的文字記載來自公元前2000年前后的古巴比倫人，它們認(rèn)為π=3.125，而古埃及人使用π=3.1605。中國古籍里記載有“圓徑一而周三”，即π=3，這也是《圣經(jīng)》舊約中所記載的π值。在古印度耆那教的經(jīng)典中，可以找到π≈3.1622的說法。這些早期的π值大體都是通過測量圓周長，再測量圓的直徑，相除得到的估計(jì)值。由于在當(dāng)時(shí)，圓周長無法準(zhǔn)確測量出來，想要通過估算法得到精確的π值當(dāng)然也不可能。
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到了公元前3世紀(jì)，古希臘大數(shù)學(xué)家阿基米德第一個(gè)給出了計(jì)算圓周率π的科學(xué)方法：圓內(nèi)接（或外切）正多邊形的周長是可以精確計(jì)算的，而隨著正多邊形邊數(shù)的增加，會(huì)越來越接近圓，那么多邊形的周長也會(huì)越來越接近圓周長。阿基米德用圓的內(nèi)接和外切正多邊形的周長給出圓周率的下界和上界，正多邊形的邊數(shù)越多，計(jì)算出π值的精度越高。阿基米德從正六邊形出發(fā)，逐次加倍正多邊形的邊數(shù)，利用勾股定理（西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理），就可求得邊數(shù)加倍后的正多邊形的邊長。因此，隨著邊數(shù)的不斷加倍，阿基米德的方法原則上可以算出任意精度的π值。他本人計(jì)算到正96邊形，得出223/71<π<22/7，即π值在3.140?845與3.142?857之間。在西方，后人一直使用阿基米德的方法計(jì)算圓周率，差不多使用了19個(gè)世紀(jì)。
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魯?shù)婪蚰股峡逃杏?jì)算到小數(shù)點(diǎn)后35位的π值
無獨(dú)有偶，中國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽，在對《九章算術(shù)》作注時(shí)，在公元264年給出了類似的算法，并稱其為割圓術(shù)。所不同的是，劉徽是通過用圓內(nèi)接正多邊形的面積來逐步逼近圓面積來計(jì)算圓周率的。約公元480年，南北朝時(shí)期的大科學(xué)家祖沖之就用割圓術(shù)算出了3.141?592?6<π<3.141?592?7，這個(gè)π值已經(jīng)準(zhǔn)確到7位小數(shù)，創(chuàng)造了圓周率計(jì)算的世界紀(jì)錄。
17世紀(jì)之前，計(jì)算圓周率基本上都是用上述幾何方法（割圓術(shù)），德國的魯?shù)婪颉し丁た埔羵惢ㄙM(fèi)大半生時(shí)間，計(jì)算了正262邊形的周長，于1610年將π值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后35位。德國人因此將圓周率稱為“魯?shù)婪驍?shù)”。
關(guān)于π值的研究，革命性的變革出現(xiàn)在17世紀(jì)發(fā)明微積分時(shí)，微積分和冪級數(shù)展開的結(jié)合導(dǎo)致了用無窮級數(shù)來計(jì)算π值的分析方法，這就拋開了計(jì)算繁雜的割圓術(shù)。那些微積分的先驅(qū)如帕斯卡、牛頓、萊布尼茨等都對π值的計(jì)算做出了貢獻(xiàn)。1706年，英國數(shù)學(xué)家梅欽得出了現(xiàn)今以其名字命名的公式，給出了π值的第一個(gè)快速算法。梅欽因此把π值計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后100位。以后又發(fā)現(xiàn)了許多類似的公式，π的計(jì)算精度也越來越高。1874年，英國的謝克斯花15年時(shí)間將π計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后707位，這是人工計(jì)算π值的最高紀(jì)錄，被記錄在巴黎發(fā)現(xiàn)宮的π大廳?？上Ш髞戆l(fā)現(xiàn)其結(jié)果從528位開始出錯(cuò)了。
電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后，人們開始利用它來計(jì)算圓周率π的數(shù)值，從此，π的數(shù)值長度以驚人的速度擴(kuò)展著：1949年算至小數(shù)點(diǎn)后2037位，1973年算至100萬位，1983年算至1000萬位，1987年算至1億位，2002年算至1萬億位，至2011年，已算至小數(shù)點(diǎn)后10萬億位。
人類對π的認(rèn)識(shí)過程，也從一個(gè)側(cè)面反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程。在人類歷史上，從沒有對一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)有過如此狂熱的數(shù)值計(jì)算競賽。不過，有10位小數(shù)就足以滿足幾乎所有的實(shí)際計(jì)算需要，在日常生活中一般取π=3.1416就足夠了。關(guān)于π的傳奇故事已經(jīng)成為一段歷史，讀者們也不必再將時(shí)間花在計(jì)算或者背誦π的數(shù)值上了。
如何測量pai的值
你好?。?！ 圓周率π的計(jì)算歷程 韓雪濤 圓周率是一個(gè)極其馳名的數(shù)。從有文字記載的歷史開始，這個(gè)數(shù)就引進(jìn)了外行人和學(xué)者們的興趣。作為一個(gè)非常重要的常數(shù)，圓周率最早是出于解決有關(guān)圓的計(jì)算問題。僅憑這一點(diǎn)，求出它的盡量準(zhǔn)確的近似值，就是一個(gè)極其迫切的問題了。事實(shí)也是如此，幾千年來作為數(shù)學(xué)家們的奮斗目標(biāo)，古今中外一代一代的數(shù)學(xué)家為此獻(xiàn)出了自己的智慧和勞動(dòng)?；仡櫄v史，人類對 π 的認(rèn)識(shí)過程，反映了數(shù)學(xué)和計(jì)算技術(shù)發(fā)展情形的一個(gè)側(cè)面。 π 的研究，在一定程度上反映這個(gè)地區(qū)或時(shí)代的數(shù)學(xué)水平。德國數(shù)學(xué)史家康托說：“歷史上一個(gè)國家所算得的圓周率的準(zhǔn)確程度，可以作為衡量這個(gè)國家當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展水平的指標(biāo)?！敝钡?9世紀(jì)π的計(jì)算方法
“兀”（3.1415）是由我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之的割圓術(shù)求出來的。
我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之，以圓的內(nèi)接正多邊形的周長來近似等于圓的周長，從而得出π的精確到小數(shù)點(diǎn)第七位的值。
π＝圓周長／直徑≈內(nèi)接正多邊形／直徑。當(dāng)正多邊形的邊長越多時(shí)，其周長就越接近于圓的周長。祖沖之算得的π值在絕大多數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中已經(jīng)非常精確。
縱觀π的計(jì)算方法，在歷史上大概分為實(shí)驗(yàn)時(shí)期、幾何法時(shí)期、解析法時(shí)期和電子計(jì)算機(jī)計(jì)算法幾種。
實(shí)驗(yàn)時(shí)期：約產(chǎn)于公元前1900年至1600年的一塊古巴比倫石匾上記載了圓周率 = 25/8 = 3.125，而埃及人似乎更早的知道圓周率，英國作家 John Taylor (1781–1864) 在其名著《金字塔》中指出，造于公元前2500年左右的胡夫金字塔和圓周率有關(guān)。例如，金字塔的周長和高度之比等于圓周率的兩倍，正好等于圓的周長和半徑之比。
幾何法時(shí)期：古希臘大數(shù)學(xué)家阿基米德(公元前287–212 年)開創(chuàng)了人類歷史上通過理論計(jì)算圓周率近似值的先河。他逐步對內(nèi)接正多邊形和外接正多邊形的邊數(shù)加倍，直到內(nèi)接正96邊形和外接正96邊形為止。最后，他得出3.141851 為圓周率的近似值。
這種方法隨后被2位中國古代數(shù)學(xué)家發(fā)揚(yáng)光大。公元263年，中國數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”，求出3072邊形的面積，得到令自己滿意的圓周率≈3.1416。
而南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步求出圓內(nèi)接正12288邊形和正24576邊形的面積，得到3.1415926＜π＜3.1415927的精確值，在之后的800年里祖沖之計(jì)算出的π值都是最準(zhǔn)確的。
解析法時(shí)期：這是圓周率計(jì)算上的一次突破，是以手求π的解析表達(dá)式開始的。法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（1540-1603年）開創(chuàng)了一個(gè)用無窮級數(shù)去計(jì)算π值的嶄新方向。無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級數(shù)等各種π值表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使得π值計(jì)算精度迅速增加。
1706年，英國數(shù)學(xué)家梅欽率先將π值突破百位。到1948年英國的弗格森（D. F. Ferguson）和美國的倫奇共同發(fā)表了π的808位小數(shù)值，成為人工計(jì)算圓周率值的最高紀(jì)錄。
計(jì)算機(jī)時(shí)期：自從第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)ENIAC在美國問世之后，立刻取代了繁雜的π值的人工計(jì)算，使π的精確度出現(xiàn)了突飛猛進(jìn)的飛躍。1955年，一臺(tái)快速計(jì)算機(jī)竟在33個(gè)小時(shí)內(nèi)。把π算到10017位，首次突破萬位。
技不斷進(jìn)步，電腦的運(yùn)算速度也越來越快，在60年代至70年代，隨著美、英、法的電腦科學(xué)家不斷地進(jìn)行電腦上的競爭，π的值也越來越精確。在1973年，Jean Guilloud和Martin Bouyer以電腦CDC 7600發(fā)現(xiàn)了π的第一百萬個(gè)小數(shù)位。
2011年10月16日，日本長野縣飯?zhí)锸泄韭殕T近藤茂利用家中電腦將圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后10萬億位，刷新了2010年8月由他自己創(chuàng)下的5萬億位吉尼斯世界紀(jì)錄。56歲的近藤茂使用的是自己組裝的計(jì)算機(jī)，從10月起開始計(jì)算，花費(fèi)約一年時(shí)間刷新了紀(jì)錄。
擴(kuò)展資料：
是第十六個(gè)希臘字母的小寫。
這個(gè)符號(hào)，亦是希臘語 περιφρεια （表示周邊，地域，圓周等意思）的首字母。1706年英國數(shù)學(xué)家威廉·瓊斯（William Jones ，1675－1749）最先使用“π”來表示圓周率 。
1736年，瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉也開始用
表示圓周率。從此，
便成了圓周率的代名詞。 要注意不可把
和其大寫Π混用，后者是指連乘的意思。
把圓周率的數(shù)值算得這么精確，實(shí)際意義并不大?，F(xiàn)代科技領(lǐng)域使用的圓周率值，有十幾位已經(jīng)足夠了。如果以39位精度的圓周率值，來計(jì)算宇宙的大小，誤差還不到一個(gè)原子的體積 。
以前的人計(jì)算圓周率，是要探究圓周率是否循環(huán)小數(shù)。自從1761年蘭伯特證明了圓周率是無理數(shù)，1882年林德曼證明了圓周率是超越數(shù)后，圓周率的神秘面紗就被揭開了。
π在許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有非常重要的作用。
π是個(gè)無理數(shù)，即不可表達(dá)成兩個(gè)整數(shù)之比，是由瑞士科學(xué)家約翰·海因里?！ぬm伯特于1761年證明的。 1882年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）更證明了π是超越數(shù)，即π不可能是任何整系數(shù)多項(xiàng)式的根。
圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規(guī)作圖問題的可能性，因所有尺規(guī)作圖只能得出代數(shù)數(shù)，而超越數(shù)不是代數(shù)數(shù)。
參考資料：百度百科——圓周率
祖沖之是通過什么方法計(jì)算圓周率的？
割圓術(shù)
南北朝時(shí)代的數(shù)學(xué)家祖沖之利用割圓術(shù)進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的π值（公元466年），給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)值，密率355/113和約率22/7，這一紀(jì)錄在世界上保持了一千年之久。
為紀(jì)念祖沖之對中國圓周率發(fā)展的貢獻(xiàn)，將這一推算值用他的名字被命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。
擴(kuò)展資料：
1.圓周率，一般以π來表示，是一個(gè)在數(shù)學(xué)及物理學(xué)普遍存在的數(shù)學(xué)常數(shù)。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等于圓形之面積與半徑平方之比。是精確計(jì)算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵。分析學(xué)上，π 可定義為是最小的x>0 使得 sin(x) = 0。
2.中國數(shù)學(xué)家劉徽在注釋《九章算術(shù)》時(shí)（公元263年）只用圓內(nèi)接正多邊形就求得π的近似值，也得出精確到兩位小數(shù)的π值，他的方法被后人稱為割圓術(shù)，其中有求極限的思想。
3.在歷史上,有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作出過研究,當(dāng)中著名的有阿基米德、托勒密、張衡、祖沖之等。他們在自己的國家用各自的方法,辛辛苦苦地去計(jì)算圓周率的值。下面,就是世上各個(gè)地方對圓周率的研究成果。
參考資料：祖沖之-百度百科
割圓術(shù)-百度百科
