線性代數(shù)里的特征向量和特征值的含義

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要課題；因而，線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。線性代數(shù)的理論已被泛化為算子理論。由于科學(xué)研究中的非線性模型通?？梢员唤茷榫€性模型，使得線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)和社會科學(xué)中。 特征值是線性代數(shù)中的一個重要概念。在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、計算機等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。 數(shù)學(xué)上，線性變換的特征向量（本征向量）是一個非退化的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值（本征值）。一個線性變換通?？梢杂善?h3>線性代數(shù)特征值和特征向量怎么求對于一個方陣來說 求特征值的方法就是 行列式方程|A-λE|=0 解得λ 之后 再代入矩陣A-λE中 化簡得到特征向量

線性代數(shù) 特征值和特征向量

特征向量和特征值的定義就是：矩陣A乘以一個非零向量a，相當(dāng)于一個數(shù)λ乘以這個向量a，于是這個數(shù)λ就是特征值（能代表矩陣A特點的數(shù)值），向量a就是特征向量。寫成式子就是 Aa=λa 那你想想，移項過去以后Aa-λa=0，要把a用乘法分配律提出來，就變成(A-λE)a=0（E是單位矩陣） 那你現(xiàn)在的目的是要求λ和a，如果運用條件呢？首先這是個以a為未知數(shù)的齊次方程組（右邊是0），a≠0，根據(jù)解的判別定理，齊次方程組有一個不為0的解，比如它的系數(shù)行列式為0才行，所以 |A-λE|=0，就是你問的第一個式子。 然后就算這個行列式的值來解出λ。行列式的結(jié)果是一個關(guān)于λ的3次方程，3次方程必然有3個解（這

線性代數(shù)中怎樣求特征值和特征向量？

特征值與特征向量是線性代數(shù)的核心也是難點，在機器學(xué)習(xí)算法中應(yīng)用十分廣泛。要求線性代數(shù)中的特征值和特征向量，就要先弄清楚定義：

設(shè) A 是 n 階矩陣，如果存在一個數(shù) λ 及非零的 n 維列向量 α ，使得Aα=λαAα=λα成立，則稱 λ 是矩陣 A 的一個特征值，稱非零向量 α 是矩陣 A 屬于特征值 λ 的一個特征向量。

觀察這個定義可以發(fā)現(xiàn)，特征值是一個數(shù)，特征向量是一個列向量，一個矩陣乘以一個向量就等于一個數(shù)乘以一個向量。

擴展資料：

下面根據(jù)一個例子來理解：

設(shè) A 是 3 階矩陣

存在一個數(shù) λ ，

且存在一個非零的 3 維列向量 α ，

使得 Aα = λα，即

則稱 λ=4 為矩陣A的特征值，

也稱 α=[ -4, 5, 17 ]T是矩陣A屬于特征值為 4 的一個特征向量。

線性代數(shù)，求特征值和特征向量

特征值 λ = -2， 3， 3，特征向量： (1 0 -1)^T、(3 0 2)^T。

解：

|λE-A| =

|λ-1 -1 -3|
| 0 λ-3 0|
|-2 -2 λ|

|λE-A| = (λ-3)*

|λ-1 -3|
|-2 λ|

|λE-A| = (λ-3)(λ^2-λ-6) = (λ+2)(λ-3)^2

特征值 λ = -2， 3， 3

對于 λ = -2， λE-A =

[-3 -1 -3]
[ 0 -5 0]
[-2 -2 -2]

行初等變換為

[ 1 1 1]
[ 0 1 0]
[ 0 2 0]

行初等變換為

[ 1 0 1]
[ 0 1 0]
[ 0 0 0]

得特征向量 (1 0 -1)^T。

對于重特征值 λ = 3， λE-A =

[ 2 -1 -3]
[ 0 0 0]
[-2 -2 3]

行初等變換為

[ 2 -1 -3]
[ 0 -3 0]
[ 0 0 0]

行初等變換為

[ 2 0 -3]
[ 0 1 0]
[ 0 0 0]

得特征向量 (3 0 2)^T。

答：特征值 λ = -2， 3， 3，特征向量： (1 0 -1)^T、(3 0 2)^T。

擴展資料

特征值是線性代數(shù)中的一個重要概念。在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、計算機等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用

設(shè) A 是n階方陣，如果存在數(shù)m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是A的一個特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

非零n維列向量x稱為矩陣A的屬于（對應(yīng)于）特征值m的特征向量或本征向量，簡稱A的特征向量或A的本征向量。

矩陣的特征向量是矩陣理論上的重要概念之一，它有著廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)上，線性變換的特征向量（本征向量）是一個非簡并的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值（本征值）。