兩個物體A'B從不同的高度靜止釋放，釋放前A，B的高度之差h=2.mA物體下落h1=0.2m后
- 教育綜合
- 2022-11-21 07:56:21
空間里A，B兩點 質(zhì)點P從A點釋放后，沿什么樣的軌跡運動使其到達B點所需時間最短
費馬原理物理光學部分的內(nèi)容如下
光始終選擇空間中最快的路徑（費馬路徑）。
雖然僅有一句話，但是由它可以直接得到折射定律，甚至整個幾何光學的內(nèi)容都可以由它推出。
我們看一下這句話是怎么起作用的。首先，在空氣中，光速不變，那么從A點到B點必然是要走直線才是最快的，也就是說，費馬原里可以推出，空間中光沿著直線傳播。
再看折射，如圖，如果黑色線代表界面，那么從上面物體A到下面物體B的路徑是什么呢？
假設界面上的介質(zhì)折射率為n1，界面下的為n2
那么，如何選擇時間最短路徑呢？
光在界面上的傳播速度是V1=c/n1
界面下是V2=c/n2
假設入射角為a，折射角為b，顯然滿足
h1*tana+h2tanb=L
并且我們要求的是
t=(h1/cosa)/V1+(h2/cosb)/V2
的最小值。
這里我們?yōu)榱嘶喓啽?，不使用h1h2
而是使用L被O點分成的兩部分x和y
則上面的兩個方程滿足
L=x+y
t=sqrt(h1^2+x^2)/V1+sqrt(h2^2+y^2)/V2
將V1=c/n1
V2=c/n2
y=L-x
代入，得到
tc=sqrt(h1^2+x^2)n1+sqrt(h2^2+(L-x)^2)n2
對其求導，等于0時候就是tc的最小值。
此時解得
xn1/sqrt（h1^2+x^2）=yn2/sqrt(h2^2+y^2)
于是，我們有n1sina=n2sinb
就是折射定律。
費了這么多功夫，我們證明了，光在空間走的路徑就是時間最短的路徑。
那么，如果某個質(zhì)點的速度也是在不同空間區(qū)域內(nèi)不同的，那它的情況就和光一樣，也就是它的路徑滿足光路的時候用時間最短。
例如下面一道題
一個人在搞鐵人三項比賽，要從陸地上A點到河對岸的B點（就用我們剛剛搞光路的那個圖吧，黑色界面就是河岸）已知他在水中的速度是陸地上的一半，求他在哪里下水到達B用的時間最少。
這里就可以直接用費馬定理啦，水中速度是陸地上一般，就是說，可以認為水中的折射率是陸地上的兩倍，從而得到sina=2sinb
然后再根據(jù)已知的h1h2和L解方程就可以得到B的坐標啦
其實用的就是類比，用光路（自動選擇最短時間）來類比我們要解的問題（質(zhì)點運到時間最短）
根據(jù)你的問題補充，我理解哦，這應該是最著名的最速降線問題。
題目是這樣的
如果我們給一個光滑的軌道連接空間中不同高度的AB兩點，然后讓一個物體從較高的A點自由下落，問這個軌道是什么形狀可以讓這個物體在最短時間內(nèi)到達B點。
百度百科上有解答，在我給出的參考資料里
然而，就像百科上說的，嚴格解必然牽扯到變分法。變分是大學經(jīng)典力學里面才會學到的。
高中競賽，一般是用費馬原理來解
如果要用費馬原理來解，要用到微分法
就像你說的，如果有重力，速度一直在變，那么怎么算呢？
很簡單，我們把AB之間的空間劃分成n個水平的層，當n很大，也就是每一層非常薄的時候，可以認為質(zhì)點在這一層里是勻速運動的。
根據(jù)能量守恒律，可以知道，在降低了h高度后，其速度為sqrt(2gh)
我們把AB之間的高度差分成t份，如果平均分的話，每一層的厚度是h/t
在每一層結(jié)束時候的速度滿足
vi=sqrt(2gih/t)
每一層開始的速度、結(jié)束的速度、中心的速度都可以用來作為著一層的速度，因為當t趨向無限大的時候，它們都是一樣的。
那么好，最后一層的速度就是vt=sqrt(2gh)
假設最后一層的折射率是1，那么，第i層的折射率就是
sqrt(t/i)
好，下面是光學問題
假設在最后一層它的速度與垂直方向的夾角是a，設sina=z
可以知道，上一層的夾角的sin值是zsqrt(1-1/t)
上面第i層光線與豎直方向夾角的sin值是zsqrt(i/t)
好，最后水平方向列方程了
第i層的水平方向長度滿足：Li=(h/t)tanai
=(h/t)zsqrt(i/t)/sqrt(1-iz^2/t)
我們現(xiàn)在所需要知道的就是z
你可以用求和的方法求出z
就是對所有的Li求和，等于AB的水平距離。
當然，你也可以先把軌跡方程做出來，再確定其中的參數(shù)z
既然，t趨向于正無窮大，我們就可以有
h/t=dy
那么i/t=y/h
這里y以出發(fā)點A為原點，向下為正方向。
代入上面的Li=(h/t)tanai=(h/t)zsqrt(i/t)/sqrt(1-iz^2/t)
得到，dx=dyzsqrt(y/h)/sqrt(1-z^2y/h)
化簡得到dx=zsqrt[y/(h-z^2y)]dy
好，積分就可以了。這里使用換元法
zsqrt(y/h)=sinb
則有y=(h/z^2)(sinb)^2
然后代入dx的表達式，不要忘記dy里的y也要代入的。然后，本來積分是從0到y(tǒng)，現(xiàn)在積分是從0到arcsin[zsqrt(y/h)]
積分出來就是x=(h/2z^2)(2b-sin2b)
在研究“物體的重力勢能與哪些因素有關(guān)”的實驗中，讓兩個質(zhì)量相等的鐵塊A和B 從空中靜止釋放，撞擊相同
（1）鐵塊的重力勢能越大，則木樁陷進沙坑的深度越深．本題是把鐵塊的重力勢能轉(zhuǎn)化成木樁陷進沙坑的深度來比較各鐵塊重力勢能的大小的．（2）由圖可知，A、B兩鐵塊質(zhì)量相等，但B木樁陷入的更深，所以B的重力勢能較大，故B的高度一定高于A的．
（3）實驗通過控制鐵塊的質(zhì)量相等而下落高度不同，應用了控制變量法；實驗通過木樁陷入沙坑的深度比較鐵塊重力勢能的大小，把重力勢能的大小轉(zhuǎn)化為木樁陷入沙坑的深度大小，應用了轉(zhuǎn)換法．由實驗可以得出：重力勢能的大小與高度有關(guān)．
故答案為：（1）木樁陷入沙坑中的深度；（2）小于；（3）控制變量法和轉(zhuǎn)換法；高度．
在某地同一高度同時由靜止釋放質(zhì)量不同的兩個物體，不計空氣阻力，則兩物體（ ）A．落到地面所用時間
兩個物體都做自由落體運動，它們的運動的情況是完全相同的，所以它們的加速度相同，落到地面所用時間相同，故AC錯誤，BD正確．故選：BD．
