u=f(x-y,y-z,z-t),求du
- 教育綜合
- 2022-09-25 17:43:14
u=f(x,y,z),求du/dx——du/dx是什么意思?是求偏導(dǎo)嗎?詳細點,謝咯!~
?z/?x:是偏導(dǎo) = partial differentiation;
dz/dx:是全導(dǎo) = total differentiation。
對于全導(dǎo),才有全微分:
dz = (?z/?x)dx + (?z/?y)dy。
?u/?x=f1'*[?(x/y)/?x]+f2'*[?(y/z)/?x]=f1'/y+f2'*0=f1'/y;
?u/?y=f1'*[?(x/y)/?y]+f2'*[?(y/z)/?y]=-(x/y2)f1'+(f2'/z);
?u/?z=f1'*[?(x/y)/?z]+f2'*[?(y/z)/?z]=f1'*0-(y/z2)f2'=-(y/z2)f2';
擴展資料:
一一型鎖鏈法則
在中間變量只有一個時,如z=f(u,x),它在相應(yīng)點有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則可得一一型全導(dǎo)數(shù)鎖鏈法則,即:[1]
二一型鎖鏈法則
設(shè)u=u(x)、v=v(x)在x可導(dǎo),z=f(u,v)在相應(yīng)點(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)z=f(u(x),v(x))在x可導(dǎo),且有:
證明:對于自變量x的該變量△x,變量u=u(x)、v=v(x)的改變量△u,△v,進一步有函數(shù)的該變量△z,因為函數(shù)z=f(u,v)可微,即有
對上式左右兩端同除△x,得到:
又因為u=u(x)、v=v(x)可導(dǎo),當(dāng)
時,對上式左右兩端同時取極限,則有:
證明完畢。
參考資料:百度百科-全導(dǎo)數(shù)
u=f(x-y,y-z,t-z)
令z1=x-y,z2=y-z,z3=t-z 偏u偏x=(偏f偏z1)*(偏z1偏x)+(偏f偏z2)*(偏z2偏x)+(偏f偏z3)*(偏z3偏x) =(偏f偏z1)*1 (注釋:(偏z2偏x)和(偏z3偏x)都是0,偏z1偏x就相當(dāng)于在x-y(y看做常數(shù))對x元求導(dǎo)=1) 同樣可求出 偏u偏y=(偏f偏z1)*(-1)+(偏f偏z2)*1 偏u偏z=(偏f偏z2)*(-1)+(偏f偏z3)*(-1) 偏u偏t=(偏f偏z3)*1 將他們加起來可得 偏u偏x+偏u偏y+偏u偏z+偏u偏t=0 偏導(dǎo)不會打,看起來可能有些別扭。如果不明白,歡迎繼續(xù)追問函數(shù)f有一階偏導(dǎo)數(shù),求它所有的偏導(dǎo)數(shù)。 U=f(x-y,y-z,z-x)
U為一個三元函數(shù),所以有三個一階偏導(dǎo) (設(shè)f'1、f'2、f'3分別為f關(guān)于第一個、第二個、第三個自變量的一階偏導(dǎo)) 則U'x=f'1*1+f'2*0+f'3*(-1)=U'x=f'1f'3 U'y=f'1*(-1)+f'2*1+f'3*0=U'y=f'2-f'1 U'z=f'1*0+f'2*(-1)+f'3*1=f'3-f'2求u=f(x,xy,xyz)的全微分du
u=f(x,xy,xyz)是復(fù)合函數(shù),自變量總有三個:x,xy,xyz
f1'是對第一個自變量x的偏微分;
f2'是對第一個自變量xy的偏微分;
f3'是對第一個自變量xyz的偏微分;
答案見圖