(本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交 軸于 兩點(diǎn)，交 軸于點(diǎn) ，已知拋物線的對稱軸為 ．

小題1:解：（1）設(shè)拋物線的解析式為： ， 把 代入得： 　　解得 拋物線的解析式為 ，即 　 小題2:（2）存在．　 由對稱性可知， 點(diǎn)的坐標(biāo)為 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0), 直線BC的解析式為 　　 點(diǎn)在對稱軸上，設(shè) 點(diǎn)坐標(biāo)為 代入 ，求得 點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）　 小題3:（3）證明：設(shè)圓的半徑為 ，依題意有 　把 的坐標(biāo)代入 ， 整理 得 ，　解得 （舍去） 所求圓的直徑為 ．

略

（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)，其焦點(diǎn)F在x軸上．(1)求拋

(1) y 2 ＝2x (2)關(guān)鍵證明AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于AB的一半。

試題分析：解：(1)設(shè)拋物線y 2 ＝2px(p>0)，將點(diǎn)(2,2)代入得p＝1. ∴y 2 ＝2x為所求拋物線的方程． (2)證明：設(shè)l AB 的方程為：x＝ty＋ ，代入y 2 ＝2x得：y 2 －2ty－1＝0，設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x 0 ，y 0 )，則y 0 ＝t，x 0 ＝ . ∴點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離d＝x 0 ＋ ＝ ＋ ＝1＋t 2 .又AB＝2x 0 ＋p＝1＋2t 2 ＋1＝2＋2t 2 ，∴d＝ AB，故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切． 點(diǎn)評(píng)：求拋物線的方程，前提是設(shè)拋物線的方程，而設(shè)置拋物線可結(jié)合焦點(diǎn)，像本題通過畫圖，知道拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，因而可令拋物線的方程為y 2 ＝2px(p>0)（式子中的x 對應(yīng)x軸，2px前面是正的對應(yīng)正半軸）。第二題涉及直線與拋物線這兩種曲線，當(dāng)兩者相交時(shí)，常常在聯(lián)立方程組后，用到根與系數(shù)的關(guān)系式：

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），且x1，x2是方程x2-

（1）由x²-2x-3=0，得x=-1或x=3．
∵x₁＜x₂，
∴x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx+2聯(lián)立求解，
得a＝?

2

3

，b＝

4

3

．（2分）
∴此拋物線的解析式為y＝?

2

3

x2+

4

3

x+2．
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴C（0，2）．
設(shè)AC的解析式為y=kx+n（k≠0），把A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=kx+n，
聯(lián)立求得k=2，n=2．
∴直線AC的解析式為y=2x+2；

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，并設(shè)直線y=m與y軸的交點(diǎn)為F（0，m）
①當(dāng)DE為腰時(shí)，分別過點(diǎn)D，E作DP₁⊥x軸于P₁，作EP₂⊥x軸于P₂，如圖1，則△P₁DE和△P₂ED都是等腰直角三角形，
∴DE=DP₁=FO=EP₂=m．
∵AB=x₂-x₁=4，
又∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴

DE

AB

＝

CF

OC

，即

m

4

＝

2?m

2

．
解得m＝

4

3

．
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是

4

3

．
∵點(diǎn)D在直線AC上，
∴2x+2＝

4

3

，
解得x＝?

1

3

，
∴D(?

1

3

，

4

3

)．
∴P1(?

1

3

，0)．
同理可求P₂（1，0）．
②如圖2，當(dāng)DE為底邊時(shí)，過DE的中點(diǎn)G作GP₃⊥x軸于點(diǎn)P₃
∵P₃D=P₃E，∠DP₃E=90°，
∴DG=EG=GP₃=m，
由△CDE∽△CAB，
得

DE

AB

＝

CF

OC

，即

2m

4

＝

2?m

2

，
解得m=1．
同①方法求得D(?

1

2

，1)，E(

3

2

，1)，
∴DG=EG=GP₃=1．
∴OP3＝FG＝FE?EG＝

1

2

，
∴P3(

1

2

，0)．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有3個(gè)，
即P1(?

1

3

，0)，P2(1，0)，P3(

1

2

，0)．
如有其他解（證）法，請酌情給分．

（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 與x軸的右交點(diǎn)為點(diǎn)A，與y軸的 交點(diǎn)為點(diǎn)B，過點(diǎn)B作x

解：（1）由y= （x 2 ―8x―180），令y=0， 得x 2 ―8x―180=0，（x―18）（x＋10）=0，∴x＝18，x＝―10， ∴A（18,0）……………………………………………………………………………………1分 在y= x 2 ― x―10，令x＝0，y=―10，即B（0，―10）．……………………………2分 ∵BC∥OA，故點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為―10． 由―10 y= x 2 ― x―10，得x＝8或x＝0 ． 即C（8，―10）且易求出頂點(diǎn) ……………………………………………………3分 于是A（18，0），B（0，―10），C（8，―10）．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ……………4分 （2）若四邊形PQCA為平行四邊形， 由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可， 而PA＝18―QC＝t，故18―4t＝t，得 ………………………………………6分 （3）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒，則OP＝4t，QC＝t，0＜t＜4.5．說明P在線段OA上，且不與 點(diǎn)O，A重合． ∵QC∥OP，∴△QDC∽△PDO，∴ 同理QC∥AF，故 即 ∴AF＝4t＝OP．∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18，………………………………………7分 ∵點(diǎn)Q到直線PF的距離d＝10， ∴S △ PQF ＝ ??PF?d＝ ×18×10＝90． 所以△PQF的面積總為定值90．…………………………………………………………9分 （4）故當(dāng) 不存在等腰三角形△PQF．……………………………………10分 當(dāng) 時(shí)， 為等腰三角形．…………………………………………12分

略

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

解答：解：（1）直線y=mx+n沿y軸向下平移6后恰好經(jīng)過原點(diǎn)，
∴n=6，C（0，6）．
將B（6，0）代入y=mx+6，得mx+6=0，m=-1．
∴直線AC的解析式為y=-x+6．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A、C，且對稱軸x=4，c=6．
∴

36a+6b+c＝0 ? b 2a ＝4 c＝6

，
解之得：

a＝ 1 2 b＝?4 c＝6

，
∴拋物線的函數(shù)解析式為y＝

1

2

x2?4x+6．
注：變可設(shè)拋物線方程y=a（x-2）（x-6），代入C（0，6）即可求之．
（2）設(shè)P（x′，-x′+6），
由S_△ABP=

2

3

S_△ACP得：S_△ABP=

2

3

（S_△ABC-S_△ABP），
∴5S_△ABP=2S_△ABC．
5×

1

2

（6-2）（-x′+6）=2×

1

2

×（6-2）×6，
解之得：x′=

18

5

，
∴P（

18

5

，

12

5

）．
（3）假設(shè)⊙Q在運(yùn)動(dòng)過程中，存在⊙Q與坐標(biāo)軸相切的情況．
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₀，y₀）．
①當(dāng)⊙Q與y軸相切時(shí)，有|x₀|=2，即x₀=±2．
當(dāng)x₀=-2時(shí)，
∴y0＝

1

2

(?2)2?4×(?2)+6＝16，
∴Q₁（-2，16）．
當(dāng)x₀=2時(shí)，y0＝

1

2

×22?4×2+6＝0，
∴Q₂（2，0）．
②當(dāng)⊙Q與x軸相切時(shí)，有|y₀|=2，即y₀=±2．
當(dāng)y₀=-2時(shí)，有

1

2

x02?4x0+6＝?2，解之得x₀=4．
∴Q₃（4，-2）．
當(dāng)y₀=2時(shí)，有

1

2

x02?4x0+6＝2，
解之得，x0＝4±2

2

．
∴Q₄（4+2

2

，2），Q₅（4?2

2

，2）．
綜上所述，存在符合條件的⊙Q，其圓心Q的坐標(biāo)分別為Q₁（-2，16）、Q₂（2，0）、Q₃（4，-2）、Q₄（4+2

2

，2）、Q₅（4?2

2

，2）．
（4）存在與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切的圓．設(shè)點(diǎn)Q（x₁，y₁）．
當(dāng)⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切時(shí)，有|y₁|=|x₁|=r，即y₁=±x₁．
由y₁=x₁，得

1

2

x12?4x1+6＝x1，即x12?10x1+12＝0，
解之得：x1＝5±

13

．
∴r＝5±

13

．
由y₁=-x₁，得

1

2

x12?4x1+6＝?x1，
即x12?6x1+12＝0．
此方程無實(shí)數(shù)解．
綜上所述，存在與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切的圓，此圓半徑r＝5±

13

．