如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接AC、BC，過點C的直線與AB的延長線交于點P

（1）因為∠CAO+∠ACO=∠COB，而OA=OC，所以△AOC為等腰△，∠CAO=∠ACO 所以，2∠CAO=∠COB 又因為∠COB=2∠PCB，所以∠PCB=∠CAO，PC是⊙O的切線。 （2）因為AC=PC，所以△ACP為等腰△，∠A=∠P；由（1）得∠PCB=∠CAO 所以△AOC≌△CBP，BC=OC=OA，BC=AB/2 因為點M是弧AB的中點，所以∠NBM=∠BCM； 又因為∠M為公共角，所以△MBC∽△BNM，MB2=MN*MC 連接AM，因為AB為圓O直徑，所以△AMB為直角△，因為點M是弧AB的中點，所以∠BAM=∠ABM 所以△AMB為等腰RT△，MB=（根號2/2）

如圖，AB為圓O的直徑，C為圓周上的一點

(1)證明：連CO,則，∠OCA=∠OAC

∵AB為直徑

∴∠BCA=90°

∴∠CBA+∠BAC=90°

∵∠MCA=∠CBA

∴∠MCA+∠BAC=90°

又∵∠OCA=∠BAC

∴∠MCA+∠OCA=90° 即：∠MCO=90°

又因為，CO為圓O的半徑

所以，直線MN是圓O的切線

（2）若DC=2倍根號3，∠B=60°

∵∠MCA=∠CBA=60°

所以，∠CAD=30°

所以，AC=2CD=4√3, AD=6

又因為，∠DCA=∠CBA

∠BCA=∠CDA=90°

所以，△ABC∽△ACD

所以，AB/AC=AC/AD

所以，AB=AC2/AD=(4√3)2/6=8

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙0上的一點，直線MN經(jīng)過點C，過點A作直線MN的垂線，垂足為點D，且∠BAC=∠DAC

解：（1）直線MN與⊙O的位置關(guān)系是相切。理由如下： 連接OC， ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA， ∵∠CAB=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA?！郞C∥AD。 ∵AD⊥MN，∴OC⊥MN。 ∵OC為半徑，∴MN是⊙O切線。 （2）∵CD=6， ，∴AC=10。 由勾股定理得：AD=8。 ∵AB是⊙O直徑，AD⊥MN，∴∠ACB=∠ADC=90°。 ∵∠DAC=∠BAC，∴△ADC∽△ACB。 ∴ ，即 。 ∴AB=12.5。∴⊙O半徑是 ×12.5=6.25。

試題分析：（1）連接OC，推出AD∥OC，從而得OC⊥MN，根據(jù)切線的判定推出即可。 （2）求出AD、AB長，證△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB長即可。

如圖,已知AB是圓O的直徑,點C在圓O上,過點C的直線與AB的延長線交于點P，且AC=PC，∠BOC=2∠BCP。

（1）證明：∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO． 又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB， ∴∠A=∠ACO=∠PCB． 又∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACO+∠OCB=90°． ∴∠PCB+∠OCB=90°． 即OC⊥CP， ∵OC是⊙O的半徑． ∴PC是⊙O的切線．（3分） （2）證明：∵AC=PC， ∴∠A=∠P， ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P． 又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB， ∴∠COB=∠CBO， ∴BC=OC． ∴BC=12AB．（6分） 解：連接MA，MB， ∵點M是AB^的中點， ∴AM^=BM^， ∴∠ACM=∠BCM． ∵∠ACM=∠ABM，

如圖，已知AB為圓O的直徑，點C在圓O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P,AC=PC，角COB=2角PCB

∵AC=PC ∴∠A=∠P ∵∠COB=2∠PCB，∠COB=2∠A， ∴∠PCB=∠A=∠P ∴∠ACO=∠PCB 因為∠ACB=90°所以∠PCO=90°即PC是圓O的切線 （2）因為∠A=∠P，∠ACO=∠PCB，BAC=PC 所以△ACO全等于△PCB 所以BC=CO 因為CO=1/2AB，所以BC=1/2AB （3）因為BC=1/2AB 所以，∠COB=60°，由于M是弧AB的中點，所以∠MOB=90° ∠M=15° MN=MO/cos15° 根據(jù)余弦定理cm=co+mo-2co*mocos∠moc=2+2-2*2*2cos150°