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一階線性微分方程

一階線性微分方程公式是什么?

一階線性微分方程公式是:y'+P(x)y=Q(x)。

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程稱為一階線性微分方程,Q(x)稱為自由項。一階,指的是方程中關(guān)于Y的導(dǎo)數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)。線性,指的是方程簡化后的每一項關(guān)于y、y'的次數(shù)為0或1。

階線性微分推導(dǎo):

實際上公式:y'+Py=Q之通解為y=[e^(-∫Pdx)]{∫Q[e^(∫Pdx)]dx+C}中要求每一個不定積分都要算出具體的原函數(shù)且不再加C。

而本題∫Pdx=ax,但∫Q[e^(ax)]dx=∫f(x)[e^(ax)]dx中,因為有抽象函數(shù)f(x)無法算出具體的原函數(shù),所以要用不定積分與變限積分的公式:∫f(x)dx=∫[a→x]f(t)dt+C(所以每個題都可寫上下限。

本題用此公式取上式的a=0,C換為C1,(當(dāng)然被積函數(shù)也要換成本題的被積函數(shù)),代入公式后C1+C換為C2再換為C。這樣才能代入初始條件y(0)=0,求出C。

一階線性微分方程

舉例說明:(x-2)*dy/dx=y2*(x-2)^3

解:

∵(x-2)*dy/dx=y2*(x-2)3。

(x-2)dy=[y2*(x-2)3]dx。

(x-2)dy-ydx=2*(x-2)3dx。

[(x-2)dy-ydx]/(x-2)2=2*(x-2)dx。

d[y/(x-2)]=d[(x-2)2]。

y/(x-2)=(x-2)2CC是積分常數(shù))。

y=(x-2)3C(x-2)。

∴原方程的通解是y=(x-2)3C(x-2)C是積分常數(shù)。


注意事項:

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程稱為一階線性微分方程,Q(x)稱為自由項。一階,指的是方程中關(guān)于Y的導(dǎo)數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)。線性,指的是方程簡化后的每一項關(guān)于y、y'的次數(shù)為0或1。

一階線性微分方程求解

一階線性微分方程求解方法如下:

一階線性微分方程的求解一般采用常數(shù)變易法,通過常數(shù)變易法,可求出一階線性微分方程的通解。

對于一階齊次線性微分方程:

其通解形式為:

其中C為常數(shù),由函數(shù)的初始條件決定。

微分方程簡介:

微分方程,是指含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。解微分方程就是找出未知函數(shù)。

微分方程是伴隨著微積分學(xué)一起發(fā)展起來的。微積分學(xué)的奠基人Newton和Leibniz的著作中都處理過與微分方程有關(guān)的問題。微分方程的應(yīng)用十分廣泛,可以解決許多與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問題。物理中許多涉及變力的運動學(xué)、動力學(xué)問題。

如空氣的阻力為速度函數(shù)的落體運動等問題,很多可以用微分方程求解。此外,微分方程在化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和人口統(tǒng)計等領(lǐng)域都有應(yīng)用。

數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ξ⒎址匠痰难芯恐卦趲讉€不同的面向,但大多數(shù)都是關(guān)心微分方程的解。只有少數(shù)簡單的微分方程可以求得解析解。不過即使沒有找到其解析解,仍然可以確認(rèn)其解的部分性質(zhì)。

在無法求得解析解時,可以利用數(shù)值分析的方式,利用電腦來找到其數(shù)值解。 動力系統(tǒng)理論強調(diào)對于微分方程系統(tǒng)的量化分析,而許多數(shù)值方法可以計算微分方程的數(shù)值解,且有一定的準(zhǔn)確度。

以上內(nèi)容參考:百度百科—微分方程

一階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)是什么

一階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)如下:

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程稱為一階線性微分方程,Q(x)稱為自由項。一階,指的是方程中關(guān)于Y的導(dǎo)數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)。線性,指的是方程簡化后的每一項關(guān)于y、y'的次數(shù)為0或1。

擴(kuò)展資料:

形如(記為式1)的方程稱為一階線性微分方程。其特點是它關(guān)于未知函數(shù)y及其一階導(dǎo)數(shù)是一次方程。這里假設(shè),是x的連續(xù)函數(shù)。

,式1變?yōu)?img src="/d/file/p/2023/10-16/dbd8ad984ff5b939dd884f836b4e1b46.jpg" />(記為式2)稱為一階齊線性方程。

如果不恒為0,式1稱為一階非齊線性方程,式2也稱為對應(yīng)于式1的齊線性方程。式2是變量分離方程,它的通解為,這里C是任意常數(shù)。

常微分方程(ODE)是指微分方程的自變量只有一個的方程 。最簡單的常微分方程,未知數(shù)是一個實數(shù)或是復(fù)數(shù)的函數(shù),但未知數(shù)也可能是一個向量函數(shù)或是矩陣函數(shù),后者可對應(yīng)一個由常微分方程組成的系統(tǒng)。

一般的n階常微分方程具有形式:其中的已知函數(shù),并且必含有

偏微分方程(PDE)是指微分方程的自變量有兩個或以上 ,且方程式中有未知數(shù)對自變量的偏微分。偏微分方程的階數(shù)定義類似常微分方程,但更細(xì)分為橢圓型、雙曲線型及拋物線型的偏微分方程,尤其在二階偏微分方程中上述的分類更是重要。有些偏微分方程在整個自變量的值域中無法歸類在上述任何一種型式中,這種偏微分方程則稱為混合型。

最常見的二階橢圓方程為調(diào)和方程:



一階線性方程是什么?

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程稱為一階線性微分方程。

Q(x)稱為自由項。一階,指的是方程中關(guān)于Y的導(dǎo)數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)。

線性,指的是方程簡化后的每一項關(guān)于y、y'的次數(shù)為0或1。

一階線性電路是指在一個電路簡化后(如電阻的串并聯(lián),電容的串并聯(lián),電感的串并聯(lián)化為一個元件),含有一個動態(tài)元件的線性電路,其方程為一階線性常微分方程,稱為一階電路。

一階線性線性微分方程:

1、當(dāng)Q(x)≡0時,為一階線性齊次微分方程。

2、當(dāng)Q(x)≠0時,則為一階線性非齊次微分方程。

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