求y"=y'+x^2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）且在此點(diǎn)的切線與直線y=3x-3垂直的積分曲線

先求方程的通解y"-y'=x^2, y"-y'=0的通解是y=c1e^x+c2, 再求方程的一個(gè)特解,可用算子法,(D^2-D)y=x^2 y=x^2/(D^2-D)=(-D-1-1/D)x^2 =-x^3/3-x^2-2x 所以原方程的通解是y=c1e^x+c2-x^3/3-x^2-2x 經(jīng)過(guò)(1,0)點(diǎn),這一點(diǎn)切線的斜率是-1/3 0=c1e+c2-1/3-1-2 ec1+c2=10/3 y'=c1e^x-x^2-2x-2 -1/3=ec1-5 c1=14/3e c2=-4/3 所以方程的積分曲線是y=14e^(x-1)/3-x^3/3-x^2-2x-4/3

求微分方程xy"+2y'=1滿足條件y(1)=2y'(1),且當(dāng)x趨于0時(shí),y有界的特解

解：∵xy'-y=y^2 ==>(xy'-y)/y^2=1 ==>1+(y-xy')/y^2=0 ==>1+d(x/y)/dx=0 ==>dx+d(x/y)=0 ==>∫dx+∫d(x/y)=0 ==>x+x/y=C (C是積分常數(shù)) ==>x(y+1)=Cy ∴此方程的通解是x(y+1)=Cy ∵y(1)=1 ∴代入通解，得C=2 故所求特解是x(y+1)=2y。

試求XY"=Y'+(X的平方)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),且在此點(diǎn)的切線與直線Y=3X-3垂直的積分曲線

先解微分方程： xy''=y'+x2 令y'=p，則xp'=p+x2，一階線性微分方程，套公式 p'-p/x=x p=e^(∫1/xdx)[∫ xe^(∫-1/xdx) dx +C1] =e^(lnx)[∫ xe^(-lnx) dx +C1] =x(∫ 1 dx+C1) =x2+C1x 即：y'=x2+C1x （1） y=(1/3)x3+(1/2)C1x2+C2 由于曲線過(guò)(1，0）點(diǎn)，則y(1)=0 代入得：1/3+(1/2)C1+C2=0 y=3x-3的斜率為3，本曲線切線與它垂直，則切線斜率為-1/3 即y'(1)=-1/3，代入（1）得：1+C1=-1/3 解得：C1=-4/3，C2=

求(xy"'-y")^2=y"'^2+1 通解，要過(guò)程哦 微分方程

求(xy"'-y")^2=y"'^2+1 考慮齊次方程： 求(xy"'-y")^2=y"'^2 兩邊開(kāi)方： xy"'-y"=y"'（1） 或 xy"'-y"=-y"'（2） （1）的求解： （x-1）y'''=y'' dy''/y''=1/x-1 lny''=ln[C1(x-1)] y''=C1(x-1)=C1x-C1 y'=C1x2/2-C1x+C2 y=C1x3/6-C1x2/2+C2x+C3 （2）的解：上面x-1換成x+1即可： lny''=ln[C1(x+1)] y''=C1(x+1)=C1x+C1 y'=C1x2/2+C1x+C2 y=C1x3/6+C1x2/2+C2x+C3 然后

大學(xué)數(shù)學(xué)微分方程:(1-x^2)y'+xy=1，y(0)=1，求其特解。

解：∵(1-x2)y'+xy=0 ==>dy/y=-xdx/(1-x2) ==>dy/y=(1/2)d(1-x2)/(1-x2) ==>ln│y│=(1/2)ln│1-x2│+ln│C│ (C是積分常數(shù)) ==>y=C√(1-x2) ∴齊次方程(1-x2)y'+xy=0的通解是y=C√(1-x2) (C是積分常數(shù)) 于是，設(shè)微分方程(1-x2)y'+xy=1的解為 y=C(x)√(1-x2) (C(x)是關(guān)于x的函數(shù)) ∵y'=C'(x)√(1-x2)-C(x)x/√(1-x2) 代入原方程得C'(x)=1/√(1-x2)3 ∴C(x)=∫dx/√(1-x2)3 =∫costdt/cos3t