定義在（0到正無(wú)窮）上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足:x乘f（x）的導(dǎo)數(shù)

xf'(x)=f(x) → f'(x)/f(x)=1/x → ∫f'(x)/f(x)dx=∫(1/x)dx → ln[f(x)]=ln(C*x) → f(x)=Cx → f(x)/x=C；C為任意常數(shù)；

原函數(shù)的概念是什么?

根據(jù)定義微分與積分實(shí)際上是互為逆運(yùn)算，即微分是已知原函數(shù)然后求導(dǎo)， 求不定積分是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)。然而求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)往往很好求， 求導(dǎo)甚至不需要知道具體的表達(dá)式（如隱函數(shù)的求導(dǎo)），但反過(guò)來(lái) 求不定積分，就不是那么容易了。所以一些基本函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系 一定要熟，當(dāng)已知導(dǎo)函數(shù)，立刻想到其原函數(shù)，問(wèn)題便會(huì)迎刃而解。所以 導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系（即所謂的常用導(dǎo)數(shù)表或積分表），一定要熟。 根據(jù)原始的不定積分定義，求不定積分，就得熟知積分表，拋開(kāi)它就 無(wú)法下手。 也就是說(shuō)： 已知函數(shù)f(x)是一個(gè)定義在某區(qū)間的函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)都有 dF(x)=f(x)dx，

如何判斷一個(gè)函數(shù)是否存在極限，是否連續(xù)，是否可導(dǎo)，是否可微？

函數(shù)只要其圖像有一段連續(xù)就可導(dǎo)，可微應(yīng)該是全圖像連續(xù)才可以，連續(xù)就需要看定義域（如果在高中的話定義域連續(xù)函數(shù)一般都連續(xù)），極限要求連續(xù)，它要看函數(shù)的值域，函數(shù)的值域必須有一端是有意義的，即不能是無(wú)窮，且在這端定義域應(yīng)該是無(wú)窮，這樣在這端函數(shù)才有極限。

當(dāng)分母等于零時(shí)，就不能將趨向值直接代入分母，可以通過(guò)下面幾個(gè)小方法解決：

第一：因式分解，通過(guò)約分使分母不會(huì)為零。

第二：若分母出現(xiàn)根號(hào)，可以配一個(gè)因子使根號(hào)去除。

第三：以上我所說(shuō)的解法都是在趨向值是一個(gè)固定值的時(shí)候進(jìn)行的，如果趨向于無(wú)窮，分子分母可以同時(shí)除以自變量的最高次方。（通常會(huì)用到這個(gè)定理：無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小）

擴(kuò)展資料：

一個(gè)實(shí)變量函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，若其在定義域中每一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在。如果f是在x0處可導(dǎo)的函數(shù)，則f一定在x0處連續(xù)，特別地，任何可導(dǎo)函數(shù)一定在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。反過(guò)來(lái)并不一定。事實(shí)上，存在一個(gè)在其定義域上處處連續(xù)函數(shù)，但處處不可導(dǎo)。

若?在X0點(diǎn)可微，則?在該點(diǎn)必連續(xù)。特別的，所有可微函數(shù)在其定義域內(nèi)任一點(diǎn)必連續(xù)。逆命題則不成立：一個(gè)連續(xù)函數(shù)未必可微。比如，一個(gè)有折點(diǎn)、尖點(diǎn)或垂直切線的函數(shù)可能是連續(xù)的，但在異常點(diǎn)不可微。

如果一個(gè)函數(shù)的所有偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的鄰域內(nèi)存在且連續(xù)，那么該函數(shù)在該點(diǎn)可微，而且是classC。(這是可微的一個(gè)充分不必要條件)形式上，一個(gè)多元實(shí)值函數(shù)f:R→R在點(diǎn)x0處可微。

參考資料來(lái)源：百度百科——函數(shù)極限

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則公式是什么？

導(dǎo)數(shù)公式指的是基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則主要包括四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（又叫“鏈?zhǔn)椒▌t”）。

一、什么是導(dǎo)數(shù)？

導(dǎo)數(shù)就是“平均變化率“△y/△x”，當(dāng)△x→0時(shí)的極限值”?？蓪?dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(a,b)處的導(dǎo)數(shù)值為f'(a)。

二、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

高中數(shù)學(xué)里基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式里涉及到的函數(shù)類型有：常函數(shù)、冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)。它們的導(dǎo)數(shù)公式如下圖所示：

高中數(shù)學(xué)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式

三、導(dǎo)數(shù)加、減、乘、除四則運(yùn)算法則

導(dǎo)數(shù)加、減、乘、除四則運(yùn)算法則公式如下圖所示：

1、加減法運(yùn)算法則

導(dǎo)數(shù)的加、減法運(yùn)算法則公式

2、乘除法運(yùn)算法則

導(dǎo)數(shù)的乘、除法運(yùn)算法則公式

【注】分母g(x)≠0.

為了便于記憶，我們可以把導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則簡(jiǎn)化為如下圖所示的、比較簡(jiǎn)潔的四則運(yùn)算公式。

簡(jiǎn)化后的導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則公式

【注】分母v≠0.

四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式（“鏈?zhǔn)椒▌t”）

求一個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只要代入“基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式”即可。對(duì)于基本初等函數(shù)之外的函數(shù)如“y=sin(2x)”的導(dǎo)數(shù)，則要用到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（又稱“鏈?zhǔn)椒▌t”）。其內(nèi)容如下。

（1）若一個(gè)函數(shù)y=f(g(x))，則它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u)，u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系如下圖所示。

復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式

（2）根據(jù)“復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式”可知，“y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積”。

【例】求y=sin(2x)的導(dǎo)數(shù)。

解：y=sin(2x)可看成y=sinu與u=2x的復(fù)合函數(shù)。

因?yàn)?sinu)'=cosu，(2x)'=2，

所以，[sin(2x)]'=(sinu)'×(2x)'

=cosu×2=2cosu=2cos(2x)。

五、可導(dǎo)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值的物理意義和幾何意義

（1）物理意義：可導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率。

（2）幾何意義：可導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)處的切線斜率值。

【注】一次函數(shù)“kx+b(k≠0)”的導(dǎo)數(shù)都等于斜率“k”，即(kx+b)'=k。

函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若滿足對(duì)任意x∈A（其中A為定義域的子集），都有f（x）＞0，f′（x）＞0，則

（1）∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)具備“保號(hào)”性質(zhì)，
∴在（0，+∞）有f（x）＞0，f′（x）＞0，
又a＞0，
∴F′（x）=ae^axf（x）+e^axf′（x）＞0，
∴F（x）=e^axf（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
（2）f（x）定義域?yàn)椋?1，+∞），
f′(x)＝ex?

1

x+1

＝

ex(x+1)?1

x+1

．
顯見(jiàn)，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0；
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′(x)＝ex?

1

x+1

為增函數(shù)，f′（x）＜0．
又f（0）=3，由上f（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
故在（0，+∞）有f（x）＞0
綜上，所求f（x）最大“保號(hào)”區(qū)間為（0，+∞）．
（3）結(jié)論：xf（x）＞

1

x

f(

1

x

)．證明如下：
當(dāng)o＜x＜1時(shí)，

1

x

＞x，
由（1）的結(jié)論：F（x）=e^xf（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)
∴exf(x)＞e

1

x

f(

1

x

)．
即：f(x)＞e

1

x

?xf(

1

x

)，
設(shè)h(x)＝

1

x

?x+2lnx(0＜x＜1)，
則h′(x)＝?

1

x2

?1+

2

x

＝?

(x?1)2

x2

＜0，
∴h（x）在（0，1）遞減，
故h（x）＞h（1）=0，即

1

x

?x＞?2lnx．
則e

1

x

?x＞

1

x2

，
∴f（x）＞e

1

x

?xf(

1

x

)＞

1

x2

f(

1

x

)
即f(x)＞

1

x2

f(

1

x

)，
∴xf（x）＞

1

x

f(

1

x

)．