tr（XC），C可逆非正定，這是一個凸函數(shù)嗎
- 教育綜合
- 2022-11-16 07:56:12
如何證明一個函數(shù)為凸函數(shù)，謝謝
對于一元函數(shù)f(x)f(x)，我們可以通過其二階導數(shù)f′′(x)f″(x)的符號來判斷。
如果函數(shù)的二階導數(shù)總是非負，即f′′(x)≥0f″(x)≥0，則f(x)f(x)是凸函數(shù)。
對于多元函數(shù)f(X)f(X)，我們可以通過其Hessian矩陣（Hessian矩陣是由多元函數(shù)的二階導數(shù)組成的方陣）的正定性來判斷。如果Hessian矩陣是半正定矩陣，則是f(X)f(X)凸函數(shù)。
可以從幾何上直觀地理解凸函數(shù)的特點，凸函數(shù)的割線在函數(shù)曲線的上方，如圖所示：從f(x1)f(x1)連一條線到右側的虛線，利用三角形邊的比例性質可以推出中間虛線與上面直線交點的值。
綜上所述，凸函數(shù)的主要性質有：
1、若f為定義在凸集S上的凸函數(shù)，則對任意實數(shù)β≥0，函數(shù)βf也是定義在S上的凸函數(shù)；
2、若f1和f2為定義在凸集S上的兩個凸函數(shù)，則其和f=f1+f2仍為定義在S上的凸函數(shù)；
3、若fi(i=1，2，…，m)為定義在凸集S上的凸函數(shù)，則對任意實數(shù)βi≥0，函數(shù)βifi也是定義在S上的凸函數(shù)；
4、若f為定義在凸集S上的凸函數(shù)，則對每一實數(shù)c，水平集Sc={x|x∈S，f(x)≤c}是凸集。
以上內容參考百度百科-凸函數(shù)
什么是凸函數(shù)
凸函數(shù)就是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區(qū)間）上的實值函數(shù)。 凸函數(shù)是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區(qū)間）上的實值函數(shù)f 設f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上的任意兩點X1，X2和任意的實數(shù)λ∈（0，1），總有 f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2), 則f稱為I上的凸函數(shù). 判定方法可利用定義法、已知結論法以及函數(shù)的二階導數(shù) 一般的判別方法是求它的二階導數(shù)，如果其二階導數(shù)在區(qū)間上恒大于等于0，就稱為凸函數(shù)。（向下凸） 如果其二階導數(shù)在區(qū)間上恒大于0，就稱為嚴格凸函數(shù)。 編輯本段性質 定義在某個開區(qū)間C內的凸函數(shù)f在C內連續(xù)，且在除可數(shù)個點之外的所有點可微。如什么是 凸函數(shù) ？？？
凹函數(shù)：設函數(shù)f(x)在[a，b]上有定義，若[a，b]中任意不同兩點x1，x2都成立：f[(x1+x2)/2]>=[f(x1)+f(x2)]/2 則稱f(x)在[a，b]上是凹的。 函數(shù)圖形：弧段像∪形的，比如y=x^2的函數(shù). 凸函數(shù)：設函數(shù)f(x)在[a，b]上有定義，若[a，b]中任意不同兩點x1，x2都成立：f[(x1+x2)/2]<=[f(x1)+f(x2)]/2 則稱f(x)在[a，b]上是凸的。 函數(shù)圖形：弧段像∩形的，比如y=-x^2的函數(shù). f(x)=lgx是凸函數(shù),根據(jù)函數(shù)圖象判斷.一般開口向下的二次函數(shù)是凸函數(shù),開口向上的二次函數(shù)是凹函數(shù)。海森矩陣正定或半正定判斷為凸函數(shù),請問凸函數(shù)什么？
可以理解為海森矩陣就是多維度的二階導，正定就是二階導大于0，半正定就是二階導大于等于0。
凸函數(shù)是數(shù)學函數(shù)的一類特征。凸函數(shù)就是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區(qū)間）上的實值函數(shù)。
凸函數(shù)是指一類定義在實線性空間上的函數(shù)。
注意：中國大陸數(shù)學界某些機構關于函數(shù)凹凸性定義和國外的定義是相反的。Convex Function在某些中國大陸的數(shù)學書中指凹函數(shù)。
Concave Function指凸函數(shù)。但在中國大陸涉及經濟學的很多書中，凹凸性的提法和其他國家的提法是一致的，也就是和數(shù)學教材是反的。
總結如下：
舉個例子，同濟大學高等數(shù)學教材對函數(shù)的凹凸性定義與本條目相反，本條目的凹凸性是指其上方圖是凹集或凸集，而同濟大學高等數(shù)學教材則是指其下方圖是凹集或凸集，兩者定義正好相反。
另外，也有些教材會把凸定義為上凸，凹定義為下凸。碰到的時候應該以教材中的那些定義為準。
