求微分方程y"-y=e^xcos2x的特解

直接用書上的結論即可，答案如圖所示

求微分方程y''+2y'+y=e^x的通解

具體回答如下：

y''+2y'+y=e^x

齊次方程y''+2y'+y=0的特征方程：a^2+2a+1=0

解得：a=-1

齊次方程的通解y=Ce^(-x)

設特解為y*=ae^x

y*'=ae^x

y*''=ae^x代入微分方程：ae^x+2ae^x+ae^x=e^x

所以：4a=1

a=1/4

特解為y*=(1/4)e^x

所以：微分方程的通解為y=Ce^(-x)+(1/4)e^x

約束條件：

微分方程的約束條件是指其解需符合的條件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的約束條件。

常微分方程常見的約束條件是函數(shù)在特定點的值，若是高階的微分方程，會加上其各階導數(shù)的值，有這類約束條件的常微分方程稱為初值問題。

求微分方程y''+2y'+y=2e^-x的特解

特征方程為: x^2-2x+1=0, 得：x=1 因此通解為y1=(c1x+c2)e^x 設特解y2=kx^2e^x y2'=2kxe^x+kx^2e^x y2"=2ke^x+4kxe^x+kx^2e^x 代入原方程e^x(2k+4kx+kx^2-4kx-2kx^2+kx^2)=e^x 有：2k=1, 得：k=1/2 因此y2=x^2e^x/2 因此解的形式為y=(c1x+c2)e^x+x^2e^x/2

微分方程y''-y'-2y=xe^2x的一個特解y*應設為？

對應齊次線性方程為y''-y'-2y=0， 特征方程為：r^2-r-2=0, (r-2)(r+1)=0, r=2,r=-1, ∴通解為：y=C1*e^(2x)+C2*e^(-x), 非齊次方程為：y''-y'-2y=f(x), f(x)=x*e^(2x), 屬于f(x)=Pm(x)e^(αx)型， α=2，是本特征方程的一個根， 設y*=x^kQm(x)e^(αx）， α=2， Qm(x)應與x為同次多項式，設為（ax+b), k是根據(jù)依據(jù)α是否為特征方程的根而定，1、不是特征方程的根，k=0, 2、是特征方程的單根，k=1, 3、α特征方程的重根，k=2, 故應設特解:y*=x(ax+b)e

求微分方程y''-2y'=e^2x的通解

y'' - 2y' - 3y = e^(2x) 齊次部分 y'' - 2y' - 3y = 0 對應的特征方程：x^2 - 2x - 3 = 0 => x = -1 或者 x = 3. 基礎解系 e^(-x)，e^(3x). y'' - 2y' - 3y = e^(2x) 有特解 -1/3 * e^(2x). 所以，通解為：y = c1 * e^(-x) + c2 * e^(3x) - 1/3 * e^(2x). 或者，若求得：y" - p(x)*y' - q(x)*y = 0 的兩個線性無關的特解：u(x)，v(x)，則 非齊次方程：y" - p(x)*y' - q(x)*y = f(x)