為什么廣義平穩(wěn)高斯過程也是嚴(yán)格平穩(wěn)的？
- 教育綜合
- 2024-08-05 07:57:20
什么是高斯過程？其主要性質(zhì)有哪些？
高斯過程（Gaussian Process。GP）是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中隨機(jī)過程（stochastic process）的一種，是一系列服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量（random variable）在一指數(shù)集（index set）內(nèi)的組合。
高斯過程中任意隨機(jī)變量的線性組合都服從正態(tài)分布，每個(gè)有限維分布都是聯(lián)合正態(tài)分布，且其本身在連續(xù)指數(shù)集上的概率密度函數(shù)即是所有隨機(jī)變量的高斯測度，因此被視為聯(lián)合正態(tài)分布的無限維廣義延伸。高斯過程由其數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差函數(shù)完全決定，并繼承了正態(tài)分布的諸多性質(zhì)。
高斯過程的例子
高斯過程的例子包括維納過程、奧恩斯坦-烏倫貝克過程等。
對(duì)高斯過程進(jìn)行建模和預(yù)測是機(jī)器學(xué)習(xí)、信號(hào)處理等領(lǐng)域的重要內(nèi)容，其中常見的模型包括高斯過程回歸（Gaussian Process Regression，GPR）和高斯過程分類（Gaussian Process Classification，GPC）。
高斯過程的命名來自德國數(shù)學(xué)家卡爾·弗里德里?！じ咚梗–arl Friedrich Gauss）以紀(jì)念其提出正態(tài)分布概念。
均值為0的平穩(wěn)高斯過程有何性質(zhì)
如果隨機(jī)過程(t)的任意n維分布服從正態(tài)分布，則成為高斯過程。 性質(zhì)：(1)高斯過程的n維分布只依賴于均值，方差和歸一化協(xié)方差。 (2)廣義平穩(wěn)的高斯過程是嚴(yán)平穩(wěn)的。 (3)如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是同級(jí)獨(dú)立的。 (4)高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高低過程。嚴(yán)平穩(wěn)一定是廣義平穩(wěn)嗎？拜托各位大神
所謂的平穩(wěn)過程就是指過程的統(tǒng)計(jì)特性與觀測開始時(shí)間無關(guān)，如果過程被分成很多時(shí)間段，不同的時(shí)間段都會(huì)顯示出本質(zhì)上相同的統(tǒng)計(jì)特性。一般來說平穩(wěn)過程源自穩(wěn)定的物理現(xiàn)象，而非平穩(wěn)過程源自不穩(wěn)定的物理現(xiàn)象。嚴(yán)平穩(wěn)就是隨機(jī)過程的每一組聯(lián)合分布函數(shù)對(duì)于取定的不同時(shí)間原點(diǎn)是時(shí)不變的。廣義平穩(wěn)滿足的條件:1期望（或者說均值）常數(shù)2自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)。一個(gè)平穩(wěn)過程不一定是嚴(yán)平穩(wěn)的，因?yàn)椴荒艽_定所有的k維聯(lián)合分布函數(shù)關(guān)于時(shí)間間隔是時(shí)不變的。另一方面嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程并不一定滿足廣義平穩(wěn)的兩個(gè)條件，因?yàn)樗囊浑A和二階距可能并不存在。不過顯然，有限二階距的嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程所組成的集合是平穩(wěn)過程所組成的集合的子集。___高斯過程的性質(zhì)
一個(gè)高斯過程完全由它的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)決定，只要均值函數(shù)m(x)和協(xié)方差函數(shù)k(x,x')確定了，這個(gè)高斯過程也就完全確定了。
高斯過程有很多與高斯變量類似的統(tǒng)計(jì)特征，如：
1. 高斯過程通過線性系統(tǒng)或高斯過程的線性組合仍為高斯型。
2. 如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則等價(jià)于平穩(wěn)。
3. 如果高斯過程的時(shí)間進(jìn)程中兩個(gè)不同時(shí)刻的隨機(jī)變量不相關(guān)，則等價(jià)于統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。
4. 高斯過程的線性積分則為相應(yīng)的高斯隨機(jī)變量。
在通信系統(tǒng)中，電子器件內(nèi)部的自由電子的熱運(yùn)動(dòng)（熱噪聲），真空電子管的起伏發(fā)射和半導(dǎo)體中載流子的非均勻變化（又稱散彈噪聲，shot ），電源濾波不良的哼哼聲等，它們的統(tǒng)計(jì)特性基本上都是高斯分布，即高斯過程。
5、兩個(gè)高斯分布律的隨機(jī)變量的卷積是高斯分布律，它的均值和方差是原來兩個(gè)高斯分布律的均值和方差的代數(shù)和。
6、高斯過程的邊緣似然函數(shù)
7、高斯過程的條件概率公式
