lny=x^2+c y=?

lny=x^2+c y==C·e^(x^2)。

解答過程如下：lny=x^2+c，y=e^(x^2+c)，y=e^c·e^(x^2)，設(shè)C=e^c，y=C·e^(x^2)。

微分方程：對于一個微分方程而言，其解往往不止一個，而是有一組，可以表示這一組中所有解的統(tǒng)一形式，稱為通解（general solution）。對一個微分方程而言，它的解會包括一些常數(shù)，對于n階微分方程，它的含有n個獨立常數(shù)的解稱為該方程的通解。

偏微分方程：

微分方程的自變量有兩個或以上，且方程式中有未知數(shù)對自變量的偏微分。

偏微分方程的階數(shù)定義類似常微分方程，但更細(xì)分為橢圓型、雙曲線型及拋物線型的偏微分方程，尤其在二階偏微分方程中上述的分類更是重要。

有些偏微分方程在整個自變量的值域中無法歸類在上述任何一種型式中，這種偏微分方程則稱為混合型。

偏微分方程

偏微分方程是數(shù)學(xué)中的一個重要分支，它是描述自然現(xiàn)象和物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。偏微分方程通常用于描述一些變量隨時間、空間等因素的變化規(guī)律。它們可以用來解決許多重要的實際問題，如流體力學(xué)、電磁學(xué)、熱傳導(dǎo)、量子力學(xué)等領(lǐng)域的問題。
偏微分方程可以分為幾種類型，包括：
1. 橢圓型偏微分方程：用于描述穩(wěn)態(tài)問題，如靜電場、靜磁場等。

2. 拋物型偏微分方程：用于描述熱傳導(dǎo)、擴散、波動等問題。
3. 雙曲型偏微分方程：用于描述波動、震蕩等問題。

解決偏微分方程的方法包括分離變量法、變換法、數(shù)值方法等。在實際應(yīng)用中，偏微分方程的求解通常需要結(jié)合數(shù)值方法和計算機模擬來進行。

偏微分方程是什么？

偏微分方程的起源 如果一個微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個自變量，這個方程叫做常微分方程，也簡稱微分方程；如果一個微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或者說如果未知函數(shù)和幾個變量有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對幾個變量的導(dǎo)數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程。 在科學(xué)技術(shù)日新月異的發(fā)展過程中，人們研究的許多問題用一個自變量的函數(shù)來描述已經(jīng)顯得不夠了，不少問題有多個變量的函數(shù)來描述。比如，從物理角度來說，物理量有不同的性質(zhì)，溫度、密度等是用數(shù)值來描述的叫做純量；速度、電場的引力等，不僅在數(shù)值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點上的張力狀態(tài)的描述出的量叫做張量，等等。這些量不僅和時間有關(guān)系

總結(jié)偏微分方程的解法

可分為兩大方面：解析解法和數(shù)值解法。 其中只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以實際應(yīng)用中，多求數(shù)值解。 數(shù)值解法又可以分為最常見的有三種：差分法、有限體積法、有限元法。其中，差分法是最普遍最通用的方法。 擴展資料 偏微分方程示例 二階線性與非線性偏微分方程始終是重要的研究對象。 這類方程通常劃分成橢圓型、雙曲型與拋物型三類，圍繞這三類方程所建立和討論的基本問題是各種邊值問題、初值問題與混合問題之解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性及漸近性等性質(zhì)以及求解方法。 近代物理學(xué)、力學(xué)及工程技術(shù)的發(fā)展產(chǎn)生出許多新的非線性問題，它們常常導(dǎo)引出除上述方程之外的稱為混合型方程、退化型方程及高階偏微分方程等有關(guān)問題

雙曲型偏微分方程的解法及相關(guān)問題

在求解雙曲型方程或研究其解的性質(zhì)時，特征超曲面及次特征線起著重要的作用。一個超曲面S:φ(t,x)=0，如果在其上成立就稱它是方程（4）的一個特征超曲面。對于雙曲型方程，任一特征超曲面均由次特征線組成，而次特征線t=t(τ),x=x(τ）由下述常微分方程組滿足附加條件（5）的解所給出。由過一點p(t0，x0）的一切次特征線所構(gòu)成的特征超曲面，稱為以p為頂點的特征劈錐面，連同其內(nèi)部稱為特征劈錐體，它們由位于t≥t0及t≤t0的前向及后向兩部分組成。過p點指向此劈錐面內(nèi)部的任一方向，稱為此點的類時方向；一個處處和類時方向相切的曲線稱為類時曲線。以P為頂點的特征劈錐面內(nèi)部的任一點，都可用類時曲線與p點相連。在p點將劈錐的前后兩部分隔開來的任一超曲面元素，稱為類空元素；處處和類空元素相切的超曲面稱為類空超曲面。對方程（4），超平面t為常數(shù)就是一個類空超曲面。對波動方程（1），次特征線都是直線，而以p(t0,x0）為頂點的特征劈錐面就是特征錐面.
此時t軸恰為一個類時曲線。在方程（4）的主部的系數(shù)有界時，以任何點為頂點的特征劈錐面，都可包含在以此點為頂點的一個固定大小的圓錐中。解的弱間斷面一定是特征超曲面，因此，在波的傳播中，特征超曲面可用來表示波前，即作為已受擾動與未受擾動的區(qū)域的分界面，而任何擾動都沿著次特征線傳播。這里，擾動沿次特征線傳播的性質(zhì)，充分體現(xiàn)了一般情形下線性偏微分方程的解的奇性傳播的特點。在光學(xué)中，次特征線就是光線，沿著它們積分一些常微分方程，在高頻振動的情況下，可得到精確解的漸近展開式。這一方法稱為幾何光學(xué)近似。它將波動光學(xué)和幾何光學(xué)聯(lián)系起來，并為傅里葉積分算子提供了一個雛型。
對雙曲型方程（4），常見的定解問題是柯西問題或稱初值問題：求方程（4）在t>0時的解u=u(t,x），使它滿足如下的初始條件 t=0: 　u= u0(x），式中u0(x）及u1(x）為給定的適當(dāng)光滑的函數(shù)。一般地說，柯西問題的初始資料可以給在任一類空超曲面上。對于正規(guī)雙曲型方程，其柯西問題是在阿達馬意義下適定的，即其解存在、惟一并以某種方式連續(xù)地依賴于初始資料。不僅如此，柯西問題（4）、（6）的解u在一點p(t0,x0)(t0>0）之值，只依賴于以p點為頂點的后向特征劈錐體與初始超平面t=0交截所得的區(qū)域Gp上的初始資料，而和Gp外的初始資料無關(guān)。Gp稱為點p的依賴區(qū)域。依賴區(qū)域的有界性反映了波動以有限速度傳播的事實，是雙曲型方程所具有的一個本質(zhì)的特點。相應(yīng)地，初始資料在t=0上一點p0的一個鄰域中的擾動，僅影響到解在以p0為頂點的前向特征劈錐體的一個鄰域中的數(shù)值。這個前向特征劈錐體稱為p0點的影響區(qū)域。在特殊的情形下（例如對n>1為奇數(shù)時的波動方程（1）），解u在p(t0,x0）點的值僅依賴于初始資料在Gp的邊界的一個任意小的鄰域中的值，而p0 點的影響區(qū)域僅是過 p0點的前向特征劈錐面。此時，波的傳播有清晰的陣面，不會出現(xiàn)波的彌散，稱為成立惠更斯原理。對n為偶數(shù)的波動方程（1），惠更斯原理不成立。然而，不論在哪一種情形，由于解的奇性（不連續(xù)性）沿著次特征線傳播，在t=0上一點p0處初始資料的奇性僅通過以p0為頂點的前向特征劈錐面?zhèn)鞑コ鋈ィ蛘哒f，解在p(t0,x0）點的光滑性僅依賴于初始資料在Gp邊界的一個任意小的鄰域中的光滑性。這個事實，稱為廣義的惠更斯原理。 雙曲型方程柯西問題的現(xiàn)代理論，是由J.（-S.）阿達馬對二階雙曲型方程柯西問題的先驅(qū)工作開始的。他通過構(gòu)造在特征劈錐面上具有奇性的解（基本解）來求解柯西問題，并采用求發(fā)散積分的有限部分的方法來克服所遇到的奇性困難。他的工作經(jīng)過M.里斯及С.Л.索伯列夫等人的發(fā)展，對廣義函數(shù)論的建立是一個重要的推動，而阿達馬的方法在廣義函數(shù)論的框架中也得到了更清晰和完善的表達。
證明柯西問題適定性的一個比較簡便的方法是能量積分法。所謂能量積分，就是在x空間中由解及其若干階偏導(dǎo)數(shù)所組成的正定的積分。在一些常見的波動現(xiàn)象中，利用波在傳播中的能量守恒律，可以知道某些能量積分是不隨時間t變化的常數(shù)。對一般的二階雙曲型方程（4），也能在一個包含特征劈錐面的適當(dāng)大的圓錐中建立有關(guān)能量積分的一些估計式，稱為能量不等式。由此不僅可以證明柯西問題解的惟一性及對初始資料的連續(xù)依賴性，還可以證明解的存在性及正規(guī)性。為此，自然地采用了泛函分析的框架，并要利用索伯列夫空間的理論。 除柯西問題外，另一類重要的定解問題是混合初-邊值問題，簡稱混合問題，即要求方程（4）的一個解 u(t,x），使它在x空間的一個區(qū)域的邊界上滿足給定的邊界條件，并在此區(qū)域上滿足t=0時的初始條件。在研究波的反射、干擾或有界彈性體的振動等問題時，就會自然地提出這類問題。二階雙曲型方程（4）帶常見邊界條件的混合問題也是在阿達馬意義下適定的。在n=1的情形，對二階雙曲型方程的柯西問題及混合問題都可以利用黎曼函數(shù)方法求解。
對于高階的方程或方程組，其雙曲型的定義同樣是和柯西問題的適定性密切聯(lián)系在一起的，甚至可以用保證柯西問題為適定的要求來作為雙曲型的定義。在常系數(shù)的情形，已為L.戈爾丁所詳細(xì)分析，并給出了此時方程中的系數(shù)所應(yīng)滿足的代數(shù)條件，但由于該定義涉及到方程中非主部的系數(shù)，難以推廣到變系數(shù)的情形。在一般的情況下，有意義的是給出方程中的系數(shù)所滿足的一些代數(shù)條件，使能保證柯西問題的適定性，并適用于相當(dāng)廣泛的場合。下面是最常見和重要的兩種情形。