用數(shù)學(xué)歸納法證明：

見(jiàn)解析

證明分兩個(gè)步驟：一是先驗(yàn)證：當(dāng)n=1時(shí)，等式成立； 二是先假設(shè)n=k時(shí)，原式成立。再證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等成也成立，再證明的過(guò)程中一定要用上n=k時(shí)的歸納假設(shè) 證明：⑴ 當(dāng) 時(shí)，左邊 ，右邊 ，即原式成立 ----4分 ⑵ 假設(shè)當(dāng) 時(shí)，原式成立，即 ----6分 當(dāng) 時(shí)， 即當(dāng) 時(shí)原式也成立，由⑴⑵可知，對(duì)任意 原等式都成立

數(shù)學(xué)歸納法為什么是對(duì)的?如何證明其正確性?

從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)歸納法是一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定理，注意不是公理。它是可以在集合論的一系列公理下被證明的。證明如下：

數(shù)學(xué)歸納法對(duì)解題的形式要求嚴(yán)格，數(shù)學(xué)歸納法解題過(guò)程中：

第一步：驗(yàn)證n取第一個(gè)自然數(shù)時(shí)成立。

第二步：假設(shè)n=k時(shí)成立，然后以驗(yàn)證的條件和假設(shè)的條件作為論證的依據(jù)進(jìn)行推導(dǎo)，在接下來(lái)的推導(dǎo)過(guò)程中不能直接將n=k+1代入假設(shè)的原式中去。

最后一步總結(jié)表述。

需要強(qiáng)調(diào)是數(shù)學(xué)歸納法的兩步都很重要，缺一不可，否則可能得到下面的荒謬證明：

證明1：所有的馬都是一種顏色。

首先，第一步，這個(gè)命題對(duì)n=1時(shí)成立，即，只有1匹馬時(shí)，馬的顏色只有一種。

第二步，假設(shè)這個(gè)命題對(duì)n成立，即假設(shè)任何n匹馬都是一種顏色。那么當(dāng)我們有n+1匹馬時(shí)，不妨把它們編好號(hào)：

1, 2, 3……n, n+1。

對(duì)其中（1、2……n）這些馬，由我們的假設(shè)可以得到，它們都是同一種顏色。

對(duì)（2、3……n、n+1）這些馬，我們也可以得到它們是一種顏色。

由于這兩組中都有（2、3、……n）這些馬，所以可以得到，這n+1種馬都是同一種顏色。

這個(gè)證明的錯(cuò)誤來(lái)于推理的第二步：當(dāng)n=1時(shí)，n+1=2，此時(shí)馬的編號(hào)只有1、2，那么分的兩組是（1）和（2）——它們沒(méi)有交集，所以第二步的推論是錯(cuò)誤的。數(shù)學(xué)歸納法第二步要求n→n+1過(guò)程對(duì)n=1，2，3……的數(shù)都成立。

而上面的證明就好比多米諾骨牌的第一塊和第二塊之間間隔太大，推倒了第一塊，但它不會(huì)推倒第二塊。即使我們知道第二塊倒下會(huì)推倒第三塊等等，但這個(gè)過(guò)程早已在第一和第二塊之間就中斷了。

合理性

數(shù)學(xué)歸納法的原理，通常被規(guī)定作為自然數(shù)公理（參見(jiàn)皮亞諾公理）。但是在另一些公理的基礎(chǔ)上，它可以用一些邏輯方法證明。數(shù)學(xué)歸納法原理可以由下面的良序性質(zhì)（最小自然數(shù)原理）公理可以推出：

自然數(shù)集是良序的。（每個(gè)非空的正整數(shù)集合都有一個(gè)最小的元素）。

比如{1, 2, 3 , 4, 5}這個(gè)正整數(shù)集合中有最小的數(shù)——1。

下面我們將通過(guò)這個(gè)性質(zhì)來(lái)證明數(shù)學(xué)歸納法：

對(duì)于一個(gè)已經(jīng)完成上述兩步證明的數(shù)學(xué)命題，我們假設(shè)它并不是對(duì)于所有的正整數(shù)都成立。

對(duì)于那些不成立的數(shù)所構(gòu)成的集合S，其中必定有一個(gè)最小的元素k。（1是不屬于集合S的，所以k>1）。

k已經(jīng)是集合S中的最小元素了，所以k-1是不屬于S，這意味著k-1對(duì)于命題而言是成立的——既然對(duì)于k-1成立，那么也對(duì)k也應(yīng)該成立，這與我們完成的第二步驟矛盾。所以這個(gè)完成兩個(gè)步驟的命題能夠?qū)λ衝都成立。

注意到有些其它的公理確實(shí)是數(shù)學(xué)歸納法原理的可選的公理化形式。更確切地說(shuō)，兩者是等價(jià)的。

以上內(nèi)容參考百度百科-數(shù)學(xué)歸納法

怎么用數(shù)學(xué)歸納法證明

數(shù)學(xué)歸納法的過(guò)程分為兩部分： （1）先證明n=1時(shí)命題成立，在實(shí)際操作中，把n=1代進(jìn)去就行了，就像要你證明“當(dāng)n+1時(shí)1+n=2成立” （2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題成立 你可以這樣理解：第一部分證明n=1成立。絕大部分命題，n取任意非零自然數(shù)都成立，既然這樣，先證最基本的n=1吧。 第二部分，既然當(dāng)n=k成立時(shí)，n=k+1成立，那么，n=1已經(jīng)證明成立了，n=1+1，也就是n=2時(shí)也會(huì)成立。n=2成立，按照慣例n=2+1，也就是n=3成立。按照慣例，n=3+1，n=4+1……都會(huì)成立，所以所有的自然數(shù)都能使命題成立。 你可以把第一部分當(dāng)作一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，既然n取任意自然數(shù)

用數(shù)學(xué)歸納法證明下題

把 S1 + S3 + ... + S(2n-1) 記作 A(n) n = 1, S1 = 1 n = 2, S1 + S3 = 16 n = 3, S1 + S3 + S5 = 81 ... 猜測(cè)還是簡(jiǎn)單的，就是 n^4 數(shù)學(xué)歸納法證明： 首先對(duì)于 n = 1, A(n) = S1+...+S(2n-1) = 1 符合 然后假定對(duì)于 n 成立，那么我們來(lái)看對(duì)于 n + 1， A(n+1) = A(n) + S(2n-1) = n^4 + S(2n+1) 只要證明 S(2n+1) = (n+1)^4 - n^4, 數(shù)學(xué)歸納法證明就 ok 了。好，現(xiàn)在讓我們看看 S(2n+1) 是什么東西： 首

用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1)

先證明引理：當(dāng)0ln(1+x) 證明如下：構(gòu)造函數(shù)y=x-ln(1+x) 則y'=1-1/(1+x)>0 故函數(shù)在(0,1]單調(diào)增 又y(x=0)=0 故當(dāng)0ln(1+x) 則當(dāng)k>1時(shí) 有1/k>ln(1+1/k)=ln(k+1/k) 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1.當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+1/2 顯然>ln3/2 故不等式當(dāng)n=2時(shí)成立 2.設(shè)當(dāng)n=k-1(k E N*,k>=3)時(shí)成立 當(dāng)n=k時(shí) 左邊>lnk+1/k>lnk +ln(k+1/k)=ln(k+1) 故當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立 3.由數(shù)學(xué)歸納法原理，對(duì)于所有n>1的正整數(shù)，不等式均成立。