泰勒公式有佩亞諾余項(xiàng)的 公式中明明是0(x1-x0)^n 為什么這道題答案卻是n+1 次方呢？？

解：是用無窮小量替換得來的。 過程是，∵x→0時(shí)，[ln(1+x)]/x→1，∴[ln(1+x)]/x-1→0。(1/x)ln(1+x)=e^{ln[(1/x)ln(1+x)-1+1]}，視”(1/x)ln(l+x)-1”為整體，利用”x→0時(shí)，ln(1+x)~x”，即可得。 供參考。

考研數(shù)學(xué) 泰勒公式求極限時(shí)皮亞諾余項(xiàng)的階數(shù)為什么和公式不一樣 ?

皮亞若余項(xiàng)對(duì)階數(shù)的要求低于拉格朗日余項(xiàng)對(duì)階數(shù)的要求，而且你要對(duì)余項(xiàng)的意義理解，余項(xiàng)是指比你所列的泰勒公式的最后一項(xiàng)高階的無窮小，如果用拉格朗日余項(xiàng)代替，那么余項(xiàng)應(yīng)該至少是N+1階，但用皮亞若余項(xiàng)就只要到N階就可以了，當(dāng)然高于這些階數(shù)的都可以（N指的是泰勒公式最后一項(xiàng)的X的指數(shù)）

佩亞諾余項(xiàng)泰勒公式

帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式可以表示為：

f(x)=f(x0)+(x-x0) * f'(x0)/1!+ (x-x0)^2 * f''(x0)/2!+… +(x-x0)^n * f^(n) (x0)/n!+o((x-x0)^n)

而x0→0時(shí),

f(x)=f(0)+ x * f'(0)/1!+ x^2 * f''(0)/2!+… +x^n * f^(n) (0)/n!+o(x^n)

泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠平滑的話，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個(gè)多項(xiàng)式和實(shí)際的函數(shù)值之間的偏差。

擴(kuò)展資料

泰勒公式形式

泰勒公式是將一個(gè)在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f（x）利用關(guān)于（x-x0）的n次多項(xiàng)式來逼近函數(shù)的方法。

若函數(shù)f（x）在包含x0的某個(gè)閉區(qū)間[a,b]上具有n階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間（a,b）上具有（n+1）階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)x。

其中，表示f（x）的n階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)f（x）在x0處的泰勒展開式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余項(xiàng)，是（x-x0）n的高階無窮小。

泰勒公式中關(guān)于佩亞諾余項(xiàng)的問題

sinx＝x－x3/6＋o(x3) 和 sinx＝x－x3/6＋o(x4) 都可以。 因?yàn)閟inx的泰勒公式的下一項(xiàng)是x5/5!，它比x3、x4都高階，所以這個(gè)地方寫o(x3)還是o(x4)都可以。 不過如果題目是讓你寫出sinx的泰勒公式，這個(gè)地方還是根據(jù)前面展開式的最后一項(xiàng)－x3/6決定使用o(x3)。如果使用泰勒公式求極限，那么最后是用o(x3)還是o(x4)要根據(jù)題目決定。 類似地，e的x2 ＝1＋x2＋x4/2＋o(x5) 和 1＋x2＋x4/2＋o(x4)都可以。因?yàn)閑的x2的泰勒公式的下一項(xiàng)是x6/6，比x4、x5都高階。 一般地，如果一個(gè)函數(shù)f(x)展開到x^n，佩亞諾余項(xiàng)寫作

關(guān)于泰勒公式的一個(gè)問題

只要n階可導(dǎo)就可以了，因?yàn)镻eano余項(xiàng)不一定要用Lagrange余項(xiàng)來推導(dǎo)。 只能說當(dāng)n+1階可導(dǎo)時(shí)Lagrange余項(xiàng)要比Peano余項(xiàng)強(qiáng)。 補(bǔ)充： 1.帶Peano余項(xiàng)的Taylor公式可以反復(fù)利用L'Hospital法則來推導(dǎo)。帶Lagrange余項(xiàng)的Taylor公式需要用中值定理來推導(dǎo)，這個(gè)公式也叫Taylor中值定理。 2.Peano余項(xiàng)需要的條件弱，結(jié)論也弱，Lagrange余項(xiàng)需要的條件強(qiáng)，結(jié)論也強(qiáng)得多。Peano余項(xiàng)只能反映局部性質(zhì)，Lagrange余項(xiàng)則反映了全局性質(zhì)，因?yàn)檫@個(gè)是中值定理。