用序列極限仍在集合當(dāng)中，證明下列范數(shù)閉球（巴拿赫空間的子空間）是閉集
- 教育綜合
- 2024-01-15 17:44:34
如何證明巴拿赫空間的任何有限維子空間都是閉的?
用到一個(gè)結(jié)論，有限維的賦范空間同構(gòu)于n維歐式空間。 由于巴拿赫空間的任何有限維子空間也是賦范空間。 又因?yàn)橛邢蘧S的賦范空間是代數(shù)同構(gòu)于n維歐式空間，拓?fù)渫邭W式空間，而n維歐式空間是閉的。 因此是閉的。數(shù)學(xué)拓補(bǔ)
這個(gè)很難理解嗎？度量空間已經(jīng)很具體了。 對(duì)于這種問題實(shí)在想不清楚就回到n維歐氏空間上考慮。 1.通俗地講，開集的所有點(diǎn)都是內(nèi)部點(diǎn)。 2,3.閉集的定義通常有兩種： 1)如果A是一個(gè)開集的補(bǔ)集，那么A稱為閉集。 2)如果A包含A的一切聚點(diǎn)，那么A稱為閉集。 這兩種定義在度量空間里是等價(jià)的，第二種定義就是你所說的，不過這種定義依賴于“收斂”的概念，這在度量空間里面不是問題，但是在沒有度量的時(shí)候一般就用前一種定義(沒有度量時(shí)相應(yīng)地也要調(diào)整開集的定義)。 但是你說的“開集就是他的對(duì)立面，集合A中至少存在一個(gè)序列的極限不屬于A，則A為開集”是錯(cuò)的！ 你的意思是，如果一個(gè)集合不是閉集，那么它就是開集，這當(dāng)關(guān)于lp空間子集的列緊的一個(gè)充要條件,充分性如何證明?
如下：
第一個(gè)條件得到在每個(gè)分量上都有界，因此不停取子列，最后取出子列的一個(gè)對(duì)角，得到一個(gè)子列，在上面每個(gè)分量都收斂，于是這些分量上收斂到的值構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，用第二個(gè)條件去證明這個(gè)數(shù)列屬于lp，并且是這個(gè)子列的lp極限。
先取子列使第一分量收斂，再在這個(gè)子列中取一個(gè)子列使第二分量收斂，再在上面第二次取的子列中取子列使第三分量收斂，依次下去不停的取上面一步的子列的子列，使得依次去控制住一個(gè)分量使其收斂。
取對(duì)角的意思就是在這每步作出的子列中取一個(gè)元，使其下標(biāo)越來越大。
這個(gè)極限序列屬于lp確實(shí)用第一個(gè)條件足夠了。當(dāng)然，證明這個(gè)子列l(wèi)p收斂到這個(gè)極限序列要用第二個(gè)條件。
在數(shù)學(xué)中， Lp空間是由p次可積函數(shù)組成的空間；對(duì)應(yīng)的lp空間是由 p次可和序列組成的空間。在泛函分析和拓?fù)湎蛄靠臻g中，他們構(gòu)成了巴拿赫空間一類重要的例子。
Lp空間在工程學(xué)領(lǐng)域的有限元分析中有應(yīng)用。
當(dāng)空間維度是無窮而且不可數(shù)的時(shí)候（沒有一個(gè)可數(shù)的基底），無法運(yùn)用有限維或可數(shù)維度空間的辦法來定義范數(shù)，但對(duì)于可積函數(shù)空間，仍然能夠定義類似的概念。具體來說，給定可測(cè)空間(S,Σ,μ)以及大于等于1的實(shí)數(shù)p，考慮所有從S到域（或）上的可測(cè)函數(shù)。
考慮所有絕對(duì)值的p次冪在S可積的函數(shù)，從不等式：|f+g|≤ 2(|f|+ |g|)可知，兩個(gè)p次可積函數(shù)的和，也是一個(gè)p次可積函數(shù)。
另外，容易證明；閔可夫斯基不等式的積分形式說明三角不等式對(duì)成立。滿足這樣條件的構(gòu)成一個(gè)半范數(shù)，令成為一個(gè)半賦范向量空間。之所以是半范數(shù)，是因?yàn)闈M足的函數(shù)不一定是零函數(shù)。然而可以通過一套標(biāo)準(zhǔn)的拓?fù)浞椒◤倪@個(gè)半賦范空間得到一個(gè)賦范空間。
對(duì)可測(cè)函數(shù)來說，幾乎處處為零（在測(cè)度μ意義下）。所以幾乎處處為0，而同時(shí)也是的一個(gè)子空間。設(shè)是關(guān)于的商空間中的某個(gè)元素可以看作是所有和函數(shù)相差一個(gè)中元素的函數(shù)構(gòu)成的等價(jià)類。這樣定義的空間是一個(gè)賦范向量空間，稱為S上函數(shù)關(guān)于測(cè)度μ的Lp空間。稱為函數(shù)的p-范數(shù)。
需要注意的是，Lp空間中的元素嚴(yán)格來說并不是具體的函數(shù)，而是一族函數(shù)構(gòu)成的等價(jià)類。而當(dāng)需要將Lp空間元素當(dāng)作函數(shù)來計(jì)算的時(shí)候，參與計(jì)算的實(shí)際是從這一族函數(shù)中抽取的一個(gè)代表函數(shù)。
與序列空間一樣，在函數(shù)空間上也可以定義一致范數(shù)。定義的方法和范數(shù)一樣。
一致范數(shù)與p-范數(shù)之間存在發(fā)關(guān)系：可以證明，L空間是完備的空間，也即是說是一個(gè)巴拿赫空間（完備賦范向量空間）。Lp空間的完備性通常被稱為里茲－費(fèi)舍爾定理。具體的證明可以借助測(cè)度上的勒貝格積分的相關(guān)收斂定理來完成。
鄰域和聚點(diǎn)的意義是什么，如何理解，能用在哪里？
鄰域的意思也就是一個(gè)極限區(qū)間，它以一個(gè)很小的區(qū)間（a-b,a+b）表示為點(diǎn)a的鄰域，有些概念定義的使用范圍只能在這個(gè)區(qū)間內(nèi)才能成立。
b你可以看做是個(gè)無窮小，我們?cè)谇笠粋€(gè)點(diǎn)的極限或者是一個(gè)函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)是否連續(xù)時(shí)候，用的都是臨域，從而考察這個(gè)點(diǎn)a的左極限和右極限。但實(shí)際解題過程中，不用那么繁瑣的去考察他的臨域，而是在條件成熟時(shí)直接帶入了這個(gè)點(diǎn)a。
在拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)學(xué)分析和復(fù)分析中都有聚點(diǎn)的概念。在拓?fù)鋵W(xué)中設(shè)拓?fù)淇臻g(X，τ)，A?X，x∈X。若x的每個(gè)鄰域都含有A \ {x}中的點(diǎn)，則稱x為A的聚點(diǎn)。
在數(shù)學(xué)分析中坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)的點(diǎn)的集合，稱為平面點(diǎn)集。給定點(diǎn)集E ，對(duì)于任意給定的δ〉0 ，點(diǎn)P 的δ去心鄰域內(nèi)，總有E 中點(diǎn)，則稱為P 是 E的聚點(diǎn)（或叫作極限點(diǎn)）。
聚點(diǎn)可以是E中的點(diǎn)，也可以不屬于E。此聚點(diǎn)要么是內(nèi)點(diǎn)，要么是邊界點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)是聚點(diǎn)，界點(diǎn)是聚點(diǎn)，孤立點(diǎn)不是聚點(diǎn)。對(duì)于有限點(diǎn)集是不存在聚點(diǎn)的。聚點(diǎn)必須相對(duì)給定的集合而言，離開了點(diǎn)集E，聚點(diǎn)就沒有意義。
在復(fù)分析中點(diǎn)集E，若在復(fù)平面上的一點(diǎn)z的任意鄰域都有E的無窮多個(gè)點(diǎn)，則稱z為E的聚點(diǎn)。
以聚點(diǎn)為圓心，任意大的半徑大ε>0畫一圓，總有無窮多個(gè)點(diǎn)匯聚在該圓內(nèi)。若聚點(diǎn)是唯一的，則聚點(diǎn)就是極限點(diǎn)。
擴(kuò)展資料：
鄰域公理是現(xiàn)代數(shù)學(xué)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)概念，是定義拓?fù)涞奈逄椎葍r(jià)公理之一。這套公理直接定義了空間上的整套領(lǐng)域系，而非簡單定義某個(gè)點(diǎn)的鄰域。映射U即是將x映射至x鄰域組成的集合。
U1：若A是x的鄰域，則x屬于A。這是顯然的。
U2：若A和B都是x的鄰域，則A和B的交集也是x的鄰域。即鄰域?qū)τ谟邢藿贿\(yùn)算封閉。
U3：若A是x的鄰域，則所有包含A的集合都是x的鄰域。
U4：若A是x的鄰域，則存在一個(gè)被A包含的集合B（可以相等），使得B是其中所有點(diǎn)的鄰域。換言之，若x有一個(gè)鄰域，那么一定可以將其縮小，縮小到它是其中所有點(diǎn)的鄰域。更關(guān)鍵的，這樣的鄰域當(dāng)且僅當(dāng)它是X中的開集，這也是鄰域公理為何等價(jià)于開集公理，從而可以通過它定義X上拓?fù)涞脑颉?/p>
開鄰域和閉鄰域
若x的鄰域同時(shí)是X中的開集，稱其為x的開鄰域；若它同時(shí)是X中的閉集則稱其為x的閉鄰域。
結(jié)論
1 拓?fù)淇臻gX，X的子集A是開集，當(dāng)且僅當(dāng)A是其中所有點(diǎn)的鄰域。（顯然由此可知，從鄰域公理出發(fā)可以等價(jià)地定義拓?fù)淇臻g）。
2 拓?fù)淇臻gX，X的子集A和A°，A°是A的開核，當(dāng)且僅當(dāng)A° = {x | ?U∈U(x)，U?A}。
3 拓?fù)淇臻gX，X的子集A和A’，A’是A的閉包，當(dāng)且僅當(dāng)A’ = {x | ?U∈U(x)，U∩A ≠ ?}
定義
任給
，存在無窮多個(gè)
滿足
為復(fù)數(shù)序列
的一個(gè)聚點(diǎn)。
聚點(diǎn)與極限
有的序列可以有多個(gè)聚點(diǎn)。例如，實(shí)數(shù)序列
就有兩個(gè)聚點(diǎn)1和-1.當(dāng)序列的極限存在時(shí)，序列的極限是此序列的唯一聚點(diǎn)。
在實(shí)數(shù)序列
中，數(shù)值最大的聚點(diǎn)稱為
的上極限，記作
數(shù)值最小的聚點(diǎn)稱為
的下極限，記作
對(duì)于上述序列
上極限與下極限的概念在計(jì)算級(jí)數(shù)收斂半徑時(shí)常會(huì)用到。
集合是指具有某種特定性質(zhì)的具體的或抽象的對(duì)象匯總而成的集體。其中，構(gòu)成集合的這些對(duì)象則稱為該集合的元素 。
例如，全中國人的集合，它的元素就是每一個(gè)中國人。通常用大寫字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小寫字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素，則稱x屬于S，記為x∈S。若y不是集合S的元素，則稱y不屬于S，記為y?S 。
集合在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有無可比擬的特殊重要性。集合論的基礎(chǔ)是由德國數(shù)學(xué)家康托爾在19世紀(jì)70年代奠定的，經(jīng)過一大批科學(xué)家半個(gè)世紀(jì)的努力，到20世紀(jì)20年代已確立了其在現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論體系中的基礎(chǔ)地位，可以說，現(xiàn)代數(shù)學(xué)各個(gè)分支的幾乎所有成果都構(gòu)筑在嚴(yán)格的集合理論上。
參考資料：百度百科-聚點(diǎn)百度百科-鄰域
