什么是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？

如題所示：

當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。在一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí)，稱(chēng)這個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或者可微分?？蓪?dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)。不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

函數(shù)被稱(chēng)為冪指函數(shù)，在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中會(huì)大量涉及此類(lèi)函數(shù)，注意到它很特別。既不是指數(shù)函數(shù)又不是冪函數(shù)，它的冪底和指數(shù)上都有自變量x，所以不能用初等函數(shù)的微分法處理了。這里介紹一個(gè)專(zhuān)門(mén)解決此類(lèi)函數(shù)的方法，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。

對(duì)于兩邊取對(duì)數(shù)（當(dāng)然取以為e底的自然對(duì)數(shù)計(jì)算更方便）。由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。

擴(kuò)展資料：

不是所有的函數(shù)都可以求導(dǎo)；

可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)，但連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)（如y=|x|在y=0處不可導(dǎo)）。

函數(shù)y=f（x）在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f'（x0）的幾何意義：表示函數(shù)曲線在點(diǎn)P0（x0,f（x0））處的切線的斜率（導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率）。

由基本函數(shù)的和、差、積、商或相互復(fù)合構(gòu)成的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)則可以通過(guò)函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)推導(dǎo)。基本的求導(dǎo)法則如下：

1、求導(dǎo)的線性：對(duì)函數(shù)的線性組合求導(dǎo)，等于先對(duì)其中每個(gè)部分求導(dǎo)后再取線性組合（即①式）。

2、兩個(gè)函數(shù)的乘積的導(dǎo)函數(shù)：一導(dǎo)乘二+一乘二導(dǎo)（即②式）。

3、兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)函數(shù)也是一個(gè)分式：（子導(dǎo)乘母-子乘母導(dǎo)）除以母平方（即③式）。

4、如果有復(fù)合函數(shù)，則用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)。

參考資料：百度百科——求導(dǎo)

什么是導(dǎo)數(shù)？

導(dǎo)數(shù)定義為：當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。在一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí)，稱(chēng)這個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或者可微分?？蓪?dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)。不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。 導(dǎo)數(shù)另一個(gè)定義：當(dāng)x=x0時(shí)，f‘(x0)是一個(gè)確定的數(shù)。這樣，當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱(chēng)他為f(x)的導(dǎo)函數(shù)（derivative function）（簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)）。 幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ① c'=0(c為常數(shù)函數(shù))； ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈q)； ③ (sinx)' = cosx； ④ (cosx)' = - sinx； ⑤ (e^x)' = e^x； ⑥ (a^x)' = (a

什么是導(dǎo)數(shù)？

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x) 在x=x0處的導(dǎo)數(shù) f′(x0)，表示曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率k。

導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率。如果函數(shù)的自變量和取值都是實(shí)數(shù)的話，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。

擴(kuò)展資料：

不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)，一個(gè)函數(shù)也不一定在所有的點(diǎn)上都有導(dǎo)數(shù)。若某函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，則稱(chēng)其在這一點(diǎn)可導(dǎo)，否則稱(chēng)為不可導(dǎo)。然而，可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

對(duì)于可導(dǎo)的函數(shù)f(x)，x?f'(x)也是一個(gè)函數(shù)，稱(chēng)作f(x)的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)）。尋找已知的函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或其導(dǎo)函數(shù)的過(guò)程稱(chēng)為求導(dǎo)。實(shí)質(zhì)上，求導(dǎo)就是一個(gè)求極限的過(guò)程，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則也來(lái)源于極限的四則運(yùn)算法則。

反之，已知導(dǎo)函數(shù)也可以倒過(guò)來(lái)求原來(lái)的函數(shù)，即不定積分。微積分基本定理說(shuō)明了求原函數(shù)與積分是等價(jià)的。求導(dǎo)和積分是一對(duì)互逆的操作，它們都是微積分學(xué)中最為基礎(chǔ)的概念。

什么是導(dǎo)數(shù)？

導(dǎo)數(shù)公式指的是基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則主要包括四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（又叫“鏈?zhǔn)椒▌t”）。

一、什么是導(dǎo)數(shù)？

導(dǎo)數(shù)就是“平均變化率“△y/△x”，當(dāng)△x→0時(shí)的極限值”?？蓪?dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(a,b)處的導(dǎo)數(shù)值為f'(a)。

二、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

高中數(shù)學(xué)里基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式里涉及到的函數(shù)類(lèi)型有：常函數(shù)、冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)。它們的導(dǎo)數(shù)公式如下圖所示：

高中數(shù)學(xué)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式

三、導(dǎo)數(shù)加、減、乘、除四則運(yùn)算法則

導(dǎo)數(shù)加、減、乘、除四則運(yùn)算法則公式如下圖所示：

1、加減法運(yùn)算法則

導(dǎo)數(shù)的加、減法運(yùn)算法則公式

2、乘除法運(yùn)算法則

導(dǎo)數(shù)的乘、除法運(yùn)算法則公式

【注】分母g(x)≠0.

為了便于記憶，我們可以把導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則簡(jiǎn)化為如下圖所示的、比較簡(jiǎn)潔的四則運(yùn)算公式。

簡(jiǎn)化后的導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則公式

【注】分母v≠0.

四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式（“鏈?zhǔn)椒▌t”）

求一個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只要代入“基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式”即可。對(duì)于基本初等函數(shù)之外的函數(shù)如“y=sin(2x)”的導(dǎo)數(shù)，則要用到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（又稱(chēng)“鏈?zhǔn)椒▌t”）。其內(nèi)容如下。

（1）若一個(gè)函數(shù)y=f(g(x))，則它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u)，u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系如下圖所示。

復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式

（2）根據(jù)“復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式”可知，“y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積”。

【例】求y=sin(2x)的導(dǎo)數(shù)。

解：y=sin(2x)可看成y=sinu與u=2x的復(fù)合函數(shù)。

因?yàn)?sinu)'=cosu，(2x)'=2，

所以，[sin(2x)]'=(sinu)'×(2x)'

=cosu×2=2cosu=2cos(2x)。

五、可導(dǎo)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值的物理意義和幾何意義

（1）物理意義：可導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率。

（2）幾何意義：可導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)處的切線斜率值。

【注】一次函數(shù)“kx+b(k≠0)”的導(dǎo)數(shù)都等于斜率“k”，即(kx+b)'=k。